# Frontière efficiente des placements d'un assureur sous contrainte de capital Sciences actuarielles · Master 1 > Markowitz appliqué aux placements d'un assureur : rendement, risque et exigence de capital. ## Introduction L'assureur investit les primes encaissées avant de payer les sinistres : son portefeuille de placements est donc une source de rendement, mais aussi de risque. La théorie moyenne-variance de Markowitz cherche, pour un niveau de risque donné, l'allocation qui maximise le rendement espéré. L'ensemble de ces allocations forme la frontière efficiente. Pour un assureur, l'optimisation ne se fait pas dans le vide. Le capital exigé par le Test suisse de solvabilité (SST) croît avec le risque de marché pris, et le rendement doit être mis en regard du capital immobilisé. Les engagements au passif imposent en outre des contraintes de duration et de liquidité. Ce deck présente la logique de la frontière efficiente, son adaptation aux contraintes réglementaires et ses limites pratiques : sensibilité aux estimations, queues de distribution épaisses et corrélations instables en période de crise. ## Objectifs d'apprentissage - Construire l'idée de frontière efficiente à partir du rendement espéré et de la variance - Expliquer pourquoi la diversification réduit le risque lorsque la corrélation est inférieure à 1 - Intégrer une contrainte de capital réglementaire dans l'optimisation - Identifier les limites de l'approche moyenne-variance pour un assureur - Interpréter un portefeuille de variance minimale et le portefeuille tangent ## Concepts clés - **Rendement espéré et variance** : Pour un portefeuille de poids w, le rendement espéré est la somme pondérée des rendements espérés et la variance vaut wᵀΣw, où Σ est la matrice de covariance. Le risque dépend donc des corrélations autant que des volatilités individuelles. - **Frontière efficiente** : Ensemble des portefeuilles offrant le rendement espéré maximal pour chaque niveau de variance. Un portefeuille situé sous la frontière est dominé : on peut obtenir plus de rendement pour le même risque. - **Effet de diversification** : Si la corrélation entre deux actifs est inférieure à 1, la volatilité du mélange est inférieure à la moyenne pondérée des volatilités. Le gain est maximal quand la corrélation est faible ou négative. - **Contrainte de capital** : Dans un cadre type SST, le risque de marché consomme du capital cible. L'assureur maximise donc plutôt le rendement net du coût du capital, ce qui pénalise les actions et les actifs peu liquides par rapport aux obligations de bonne qualité. - **Limites du modèle** : Les rendements ne sont pas normaux, les corrélations montent en crise et de petites erreurs sur les rendements espérés déplacent fortement les poids optimaux. On complète par des scénarios de stress et des bornes de concentration. ## Conclusion La frontière efficiente offre un cadre clair pour comprendre le compromis rendement-risque et la valeur de la diversification. Pour un assureur, elle ne constitue cependant qu'un point de départ : le capital exigé, les engagements au passif et les situations de crise limitent fortement les allocations réellement envisageables. L'actuaire doit donc combiner optimisation, scénarios de stress et jugement, et documenter les hypothèses de rendement et de corrélation retenues. ## Cartes ### Que représente la frontière efficiente ? L'ensemble des portefeuilles qui maximisent le rendement espéré pour un niveau de risque (variance) donné. ### Que mesure la matrice de covariance Σ dans l'optimisation ? Les variances de chaque actif et leurs covariances deux à deux, donc la structure de dépendance linéaire. ### Quand la diversification est-elle la plus efficace ? Quand les actifs sont faiblement ou négativement corrélés ; avec une corrélation de 1, elle n'apporte aucune réduction de risque. ### Qu'est-ce que le portefeuille de variance minimale ? Le portefeuille de risque le plus bas atteignable avec les actifs disponibles ; c'est le point le plus à gauche de la frontière. ### Pourquoi un assureur ne choisit-il pas simplement le portefeuille de plus haut rendement ? Parce que le risque de marché augmente le capital exigé et peut menacer la solvabilité ; le choix dépend de l'appétit au risque et du capital disponible. ### Quel est le problème d'« erreur d'estimation » en optimisation moyenne-variance ? L'optimiseur amplifie les erreurs sur les rendements espérés et produit des allocations extrêmes et instables ; on ajoute des contraintes ou des méthodes de régularisation. ### Pourquoi la variance est-elle une mesure de risque imparfaite pour un assureur ? Elle traite symétriquement gains et pertes et ignore les queues épaisses ; l'assureur s'intéresse aux pertes extrêmes, d'où l'usage de la VaR ou de la TVaR. ### Comment les engagements du passif influencent-ils l'allocation ? Par la duration, les flux et la liquidité : l'actif est choisi en regard du passif (approche actif-passif), et pas seulement en rendement-risque. ### Que devient la frontière quand on interdit les ventes à découvert ? Elle se rétrécit : les poids sont bornés entre 0 et 1, ce qui est la situation usuelle pour un assureur. ## Glossaire - **Frontière efficiente** : Courbe des portefeuilles dont le rendement espéré est maximal à risque donné. - **Matrice de covariance** : Tableau des variances et covariances des rendements des actifs. - **Portefeuille de variance minimale** : Allocation qui minimise la variance totale, sans objectif de rendement. - **Coût du capital** : Rendement exigé par les apporteurs de capital sur les fonds propres immobilisés. - **Erreur d'estimation** : Écart entre paramètres estimés et réels, amplifié par l'optimisation. - **Ratio de Sharpe** : Rendement excédentaire sur le taux sans risque rapporté à la volatilité. https://ruvy.ch/decks/-P5D3x6tuIL-7ha0n-mO