Allocation du capital aux branches : Euler et RORAC

Sciences actuarielles · Master 1

Répartir le capital entre branches d'assurance et mesurer le rendement ajusté du risque.

Introduction

Un assureur multibranche détient du capital pour l'ensemble de son portefeuille, mais il doit juger la rentabilité de chaque branche : auto, ménage, responsabilité civile, santé complémentaire. Pour cela, il faut répartir le capital global entre les branches de façon cohérente.

Comme la somme des capitaux de chaque branche prise isolément dépasse le capital du groupe (effet de diversification), il faut une règle d'allocation. Le principe d'Euler attribue à chaque branche sa contribution marginale au risque total et garantit que la somme des parts égale exactement le capital global.

Une fois le capital alloué, le RORAC (rendement du capital ajusté du risque) compare le résultat de chaque branche au capital qu'elle consomme et oriente les décisions de développement, de tarification ou de réduction d'activité.

Objectifs d'apprentissage

Expliquer pourquoi le capital doit être alloué après diversification
Appliquer le principe d'Euler à l'allocation par covariance
Calculer un RORAC par branche et l'interpréter
Distinguer allocation stand-alone, proportionnelle et marginale
Discuter les limites de l'allocation pour piloter le portefeuille

Concepts clés

Capital stand-alone et diversification: Le capital de chaque branche prise isolément est supérieur à sa contribution au capital du groupe, car les branches ne subissent pas leurs pires années simultanément. L'écart est le bénéfice de diversification.
Principe d'Euler: Pour une mesure de risque homogène de degré 1, la contribution de la branche i est la dérivée du risque total par rapport à son exposition, multipliée par cette exposition. La somme des contributions égale le risque total.
Allocation par covariance: Avec l'écart-type comme mesure de risque, la part de la branche i est proportionnelle à Cov(Xᵢ, S) / σ(S). Une branche corrélée au reste du portefeuille consomme plus de capital qu'une branche diversifiante.
RORAC: Résultat attendu après coûts et impôts divisé par le capital alloué. Il est comparé à un taux cible : en dessous, la branche détruit de la valeur au regard du capital qu'elle immobilise.
Usages et limites: L'allocation éclaire la tarification et le choix des affaires à développer, mais dépend de la mesure de risque retenue et des corrélations estimées. Elle n'est pas une vérité unique et doit être testée en sensibilité.

Conclusion

L'allocation du capital transforme une exigence globale en information utile pour chaque branche. Le principe d'Euler apporte une règle cohérente, et le RORAC permet de comparer la rentabilité au regard du risque supporté.

Ces indicateurs restent des outils d'aide à la décision : ils dépendent de la mesure de risque et des dépendances estimées. L'actuaire doit en tester la robustesse avant de s'en servir pour fixer des prix ou arbitrer entre branches.

Cartes

Pourquoi faut-il allouer le capital aux branches ?: Pour comparer leur rentabilité au regard du capital qu'elles consomment et fixer des objectifs de tarification et de croissance.
Que dit le principe d'Euler sur l'allocation ?: Pour une mesure de risque homogène de degré 1, la contribution de chaque branche est sa dérivée marginale multipliée par son exposition, et la somme égale le risque total.
Que signifie une allocation « complète » ?: La somme des capitaux alloués aux branches est égale au capital total du groupe.
Comment calcule-t-on le RORAC d'une branche ?: Résultat technique et financier attendu de la branche, après coûts, divisé par le capital qui lui est alloué.
Une branche a un fort capital stand-alone mais une faible contribution marginale. Pourquoi ?: Parce qu'elle est peu corrélée au reste du portefeuille : elle diversifie et consomme peu de capital supplémentaire.
Que fait-on si le RORAC d'une branche est inférieur au rendement cible ?: On examine la tarification, les coûts, la réassurance ou la souscription ; en dernier recours, on réduit l'activité.
Quelle est la différence entre allocation proportionnelle et marginale ?: La proportionnelle répartit selon les capitaux stand-alone ; la marginale tient compte de la dépendance avec le reste du portefeuille.
Pourquoi l'allocation est-elle sensible aux hypothèses ?: Elle dépend de la mesure de risque choisie (écart-type, TVaR) et des corrélations entre branches, souvent incertaines.
Pourquoi la TVaR convient-elle à l'allocation d'Euler ?: Elle est cohérente et homogène ; sa contribution est l'espérance de la perte de la branche conditionnellement aux scénarios de queue du total.

Glossaire

Bénéfice de diversification: Différence entre la somme des capitaux stand-alone et le capital du groupe.
Contribution marginale: Variation du risque total due à une petite augmentation de l'exposition d'une branche.
RORAC: Rendement du capital ajusté du risque : résultat divisé par le capital alloué.
Capital stand-alone: Capital que la branche exigerait si elle était une entreprise indépendante.
Mesure de risque homogène: Mesure telle que multiplier les expositions par c multiplie le risque par c.
Rendement cible: Rendement minimal exigé sur le capital pour créer de la valeur.