# Régression MCO, Gauss-Markov et biais de variable omise Socioéconomie & démographie · Bachelor 3 > MCO, hypothèses de Gauss-Markov et biais de variable omise en sciences sociales. ## Introduction En sciences sociales, on cherche souvent à mesurer comment une variable (le nombre d'années de formation) est associée à une autre (le salaire). La régression linéaire estimée par les moindres carrés ordinaires (MCO) est l'outil de base : elle choisit la droite, ou l'hyperplan, qui minimise la somme des carrés des écarts entre valeurs observées et valeurs prédites. La qualité de l'estimation dépend d'hypothèses. Le théorème de Gauss-Markov établit que, sous certaines conditions, l'estimateur MCO est le meilleur estimateur linéaire sans biais. Mais dès que l'on veut interpréter un coefficient comme un effet causal, une hypothèse devient décisive : l'absence de corrélation entre le terme d'erreur et les variables explicatives. Son non-respect, par exemple par l'omission d'une variable pertinente, produit un biais. ## Objectifs d'apprentissage - Écrire le modèle de régression linéaire multiple et interpréter un coefficient toutes choses égales par ailleurs - Énoncer les hypothèses de Gauss-Markov et la propriété qu'elles garantissent - Calculer le sens du biais de variable omise - Distinguer corrélation conditionnelle et effet causal ## Concepts clés - **Estimateur des MCO** : Il minimise la somme des carrés des résidus. Pour une régression simple, la pente est la covariance entre x et y divisée par la variance de x. - **Théorème de Gauss-Markov** : Si le modèle est linéaire, l'espérance de l'erreur conditionnelle aux régresseurs est nulle, les erreurs sont homoscédastiques et non corrélées, et il n'y a pas de colinéarité parfaite, alors les MCO sont BLUE : meilleur estimateur linéaire sans biais. - **Biais de variable omise** : Si l'on omet une variable z corrélée à la fois à x et à y, le coefficient de x capte une partie de l'effet de z. Le biais a le signe du produit de l'effet de z sur y et de la corrélation entre z et x. - **Interprétation ceteris paribus** : Dans une régression multiple, un coefficient mesure la variation moyenne de y associée à une unité de x, les autres variables incluses étant maintenues constantes. Ce n'est pas automatiquement un effet causal. ## Conclusion Les MCO sont un outil simple et puissant, mais leur interprétation dépend entièrement des hypothèses. Savoir identifier le sens d'un biais de variable omise est une compétence centrale pour lire de façon critique la littérature empirique en sciences sociales. Ces bases préparent aux méthodes plus avancées d'identification causale, comme les variables instrumentales ou les différences de différences. ## Cartes ### Quelle quantité les MCO minimisent-ils ? La somme des carrés des résidus, c'est-à-dire des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle. ### Que signifie BLUE dans le théorème de Gauss-Markov ? Best Linear Unbiased Estimator : parmi les estimateurs linéaires sans biais, les MCO ont la variance la plus faible. ### Quelle hypothèse est essentielle pour que les MCO soient sans biais ? L'exogénéité : l'espérance de l'erreur conditionnelle aux variables explicatives est nulle, donc l'erreur n'est pas corrélée aux régresseurs. ### Qu'est-ce que l'homoscédasticité ? La variance de l'erreur est constante quelle que soit la valeur des variables explicatives. Sa violation (hétéroscédasticité) n'induit pas de biais mais invalide les écarts-types usuels. ### Quand le biais de variable omise apparaît-il ? Lorsqu'une variable omise est à la fois liée à la variable dépendante et corrélée avec une variable explicative incluse. ### Dans quel sens joue le biais si l'omission concerne une aptitude positive corrélée à la formation ? Le coefficient de la formation est surestimé (biais positif), car il capte en partie l'effet de l'aptitude sur le salaire. ### Que mesure le R² ? La part de la variance de la variable dépendante expliquée par le modèle. Il ne dit rien de la causalité et augmente mécaniquement avec le nombre de variables. ### Qu'implique la colinéarité parfaite ? Une variable explicative est une combinaison linéaire exacte des autres : les coefficients ne sont pas identifiables et le modèle ne peut être estimé. ### Comment interpréter un coefficient dans un modèle log-linéaire (log du salaire) ? Une unité de x est associée à une variation relative du salaire d'environ 100 fois le coefficient, en pourcentage. ## Glossaire - **Résidu** : Écart entre la valeur observée de y et la valeur prédite par le modèle estimé. - **Exogénéité** : Absence de corrélation entre les régresseurs et le terme d'erreur. - **Hétéroscédasticité** : Variance de l'erreur qui dépend des valeurs des régresseurs. - **Coefficient de détermination (R²)** : Part de la variance de y expliquée par le modèle, comprise entre 0 et 1. - **Variable de contrôle** : Variable ajoutée à la régression pour neutraliser un facteur de confusion. - **Écart-type robuste** : Estimation de l'incertitude des coefficients qui reste valable en présence d'hétéroscédasticité. https://ruvy.ch/decks/-P5D2SwE9Wf8BZLhBaWD