Logit, probit et effets marginaux en sciences sociales

Socioéconomie & démographie · Master 1

Modéliser un résultat binaire : logit, probit, rapports de cotes et effets marginaux.

Introduction

De nombreuses questions sociales produisent des résultats binaires : une personne est-elle en emploi, en situation de pauvreté, diplômée du tertiaire ? Le modèle de probabilité linéaire, estimé par MCO, peut donner des probabilités hors de l'intervalle [0,1] et suppose un effet constant. Les modèles logit et probit lient la probabilité à une combinaison linéaire des variables par une fonction de répartition, logistique ou normale.

Ces modèles s'estiment par maximum de vraisemblance et leurs coefficients ne s'interprètent pas directement comme des variations de probabilité. Il faut passer par les rapports de cotes ou, de préférence, par les effets marginaux, calculés en moyenne ou en un point.

Objectifs d'apprentissage

Justifier le choix d'un modèle logit ou probit plutôt que d'un modèle de probabilité linéaire
Décrire le principe du maximum de vraisemblance
Interpréter un rapport de cotes
Calculer et distinguer effet marginal moyen et effet marginal au point moyen

Concepts clés

Fonction de lien: Logit : fonction de répartition logistique. Probit : fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Toutes deux restreignent la probabilité entre 0 et 1.
Maximum de vraisemblance: On choisit les paramètres qui rendent les données observées les plus probables. L'estimation est itérative, contrairement aux MCO qui ont une solution explicite.
Rapport de cotes: Dans un logit, l'exponentielle d'un coefficient donne le facteur multiplicatif de la cote (probabilité sur son complément) associé à une unité de la variable.
Effet marginal: Variation de la probabilité associée à une petite variation de la variable. Il dépend du niveau des autres variables, car la relation est non linéaire.

Conclusion

Les modèles logit et probit sont devenus un standard pour analyser des résultats binaires. Leur lecture correcte repose moins sur le coefficient brut que sur la traduction en rapports de cotes et surtout en effets marginaux exprimés en probabilité.

Ces outils s'étendent à des variables ordonnées ou multinomiales et fondent une grande part de la recherche empirique sur l'emploi, la pauvreté ou l'éducation.

Cartes

Pourquoi éviter le modèle de probabilité linéaire dans certains cas ?: Il peut prédire des probabilités inférieures à 0 ou supérieures à 1 et impose un effet marginal constant, ce qui est peu réaliste pour les probabilités extrêmes.
Quelle est la différence entre logit et probit ?: La loi supposée de l'erreur : logistique pour le logit, normale pour le probit. Les résultats en probabilités sont très proches, sauf aux queues.
Comment s'estiment ces modèles ?: Par maximum de vraisemblance, en maximisant la log-vraisemblance de façon itérative.
Qu'est-ce que la cote (odds) d'un événement de probabilité p ?: Le rapport p/(1-p). Une probabilité de 0,75 correspond à une cote de 3 contre 1.
Que signifie un rapport de cotes de 1,5 pour une variable ?: Une unité supplémentaire multiplie la cote de l'événement par 1,5, soit une cote supérieure de 50 %. Ce n'est pas une hausse de 50 % de la probabilité.
Pourquoi le coefficient d'un probit n'est-il pas directement un effet sur la probabilité ?: Parce que la relation entre l'indice linéaire et la probabilité est non linéaire : l'effet dépend du point où l'on se situe sur la courbe.
Quelle est la différence entre effet marginal moyen (AME) et effet marginal au point moyen (MEM) ?: L'AME calcule l'effet marginal pour chaque individu puis en fait la moyenne ; le MEM le calcule une seule fois en fixant les variables à leur moyenne.
Comment interpréter l'effet marginal d'une variable binaire ?: Par la différence de probabilité prédite entre les deux modalités, les autres variables restant fixées.
Quel test compare deux modèles emboîtés estimés par maximum de vraisemblance ?: Le test du rapport de vraisemblance, fondé sur la différence de log-vraisemblance.

Glossaire

Variable dépendante binaire: Variable qui ne prend que deux valeurs, codées 0 et 1.
Log-vraisemblance: Logarithme de la probabilité conjointe des observations selon le modèle, maximisé à l'estimation.
Cote (odds): Rapport entre la probabilité d'un événement et celle de son contraire.
Pseudo-R²: Mesure d'ajustement des modèles non linéaires, par analogie au R², dont l'interprétation en variance expliquée n'est pas valable.
Effet marginal moyen: Moyenne, sur l'échantillon, des effets marginaux individuels d'une variable sur la probabilité.
Quasi-séparation: Situation où une variable prédit presque parfaitement le résultat, ce qui empêche la convergence ou rend les estimations instables.