Ruine avec sinistres à queue lourde : sous-exponentielles

Sciences actuarielles · Master 2

Quand le coefficient d'ajustement n'existe pas : équivalent asymptotique et grand saut.

Introduction

Le coefficient d'ajustement de Lundberg suppose que la loi des sinistres possède des moments exponentiels. Or la sinistralité en responsabilité civile, en catastrophes naturelles ou en cyber suit souvent des lois à queue lourde (Pareto, lognormale, Weibull de forme inférieure à 1) pour lesquelles cette hypothèse tombe. La décroissance de la probabilité de ruine n'est alors plus exponentielle mais polynomiale.

Ce deck présente la classe des lois sous-exponentielles, l'équivalent asymptotique de ψ(u) par la queue intégrée et le principe du grand saut, qui explique qu'un seul sinistre extrême suffise à causer la ruine.

Objectifs d'apprentissage

Définir une loi à queue lourde et une loi sous-exponentielle
Énoncer l'équivalent asymptotique de ψ(u) via la queue intégrée
Expliquer le principe du grand saut
Mesurer les conséquences pratiques sur le capital et la réassurance

Concepts clés

Absence de coefficient d'ajustement: Si E[e^(rY)] est infini pour tout r > 0 (cas de Pareto), l'équation de Lundberg n'a pas de solution positive. La borne exponentielle e^(−Ru) n'existe plus et la ruine décroît beaucoup plus lentement avec le capital.
Équivalent asymptotique: Si la queue intégrée F_I est sous-exponentielle, ψ(u) ~ (1/θ)·F̄_I(u) quand u → ∞, avec θ la charge de sécurité relative et F̄_I(x) = (1/μ)∫ de x à ∞ de F̄(y)dy.
Principe du grand saut: Pour les lois sous-exponentielles, la somme de plusieurs sinistres dépasse un seuil élevé surtout parce qu'un seul sinistre le dépasse. La ruine provient d'un événement extrême unique, pas de l'accumulation de sinistres moyens.

Conclusion

Avec des lois à queue lourde, la ruine ne se maîtrise plus par un simple coussin de capital : la décroissance polynomiale et le grand saut imposent de traiter les sinistres extrêmes à la source, par la réassurance, les limites de garantie et une modélisation fine de la queue.

Cartes

Qu'est-ce qu'une loi à queue lourde ?: Une loi dont la queue décroît plus lentement que toute exponentielle : ses moments exponentiels sont infinis.
Citez trois lois à queue lourde usuelles en assurance.: Pareto, lognormale et Weibull de paramètre de forme inférieur à 1.
Que signifie qu'une loi F est sous-exponentielle ?: Que P(Y1+Y2 > x) ~ 2·P(Y > x) quand x → ∞ : la somme est dominée par le plus grand terme.
Que donne la queue intégrée F_I ?: F̄_I(x) = (1/μ)∫_x^∞ F̄(y)dy, où μ est le sinistre moyen ; elle gouverne la décroissance de ψ.
Quel est l'équivalent de ψ(u) pour des sinistres sous-exponentiels ?: ψ(u) ~ (1/θ)·F̄_I(u) quand u → ∞, θ étant la charge de sécurité relative.
Comment décroît ψ(u) si les sinistres suivent une Pareto d'indice α > 1 ?: De façon polynomiale, de l'ordre de u^(−(α−1)), et non exponentielle.
Pourquoi doubler le capital réduit-il peu la ruine dans ce cadre ?: Parce que la décroissance polynomiale est lente : un sinistre extrême unique peut dépasser n'importe quel capital raisonnable.
Quel levier de gestion convient mieux que le capital seul ?: La réassurance en excédent de sinistre, qui plafonne les sinistres extrêmes et rend la queue résiduelle plus légère.

Glossaire

Queue lourde: Comportement d'une loi dont la probabilité d'excéder x décroît moins vite que toute exponentielle.
Loi sous-exponentielle: Loi pour laquelle la queue de la somme est équivalente à la somme des queues.
Queue intégrée: Loi de densité F̄(x)/μ qui intervient dans l'équivalent de la probabilité de ruine.
Principe du grand saut: Idée selon laquelle un événement extrême survient par un seul saut très grand.
Condition de Cramér: Existence d'une solution positive à l'équation de Lundberg, qui exige des moments exponentiels.
Indice de queue: Paramètre α qui règle le poids de la queue de Pareto : plus il est petit, plus la queue est lourde.