# Ruine à horizon fini et simulation Monte Carlo

Sciences actuarielles · Master 1

> Probabilité de ruine sur T années, discrétisation annuelle et estimation par simulation.

## Introduction

Les formules classiques de la théorie de la ruine portent sur un horizon infini, alors qu'un assureur pilote son capital sur un plan à trois ou cinq ans. La probabilité de ruine à horizon fini ψ(u,T) répond mieux à cette question de gestion, mais elle n'admet presque jamais de formule explicite.

On recourt alors à la simulation : on génère des trajectoires du processus de réserve, on compte la fraction de celles qui passent sous zéro avant T et on en déduit une estimation assortie d'une erreur statistique. Ce deck présente la logique du calcul, ses pièges de discrétisation et les approximations analytiques utiles pour contrôler les résultats.

## Objectifs d'apprentissage

- Distinguer ruine à horizon infini, à horizon fini et ruine observée en temps discret
- Simuler une trajectoire du processus de réserve de Cramér-Lundberg
- Calculer l'erreur standard d'une probabilité de ruine estimée
- Interpréter l'écart entre ψ(u,T), ψ(u) et la borne de Lundberg

## Concepts clés

- **Horizon fini contre infini** : ψ(u,T) est la probabilité que la réserve devienne négative avant l'instant T. Elle croît avec T et converge vers ψ(u) quand T tend vers l'infini : ψ(u,T) ≤ ψ(u). Pour un plan à 3 ans, la ruine à horizon infini surestime donc le risque pertinent.
- **Simulation d'une trajectoire** : On tire les temps entre sinistres (loi exponentielle de paramètre λ) puis les montants. Entre deux sinistres la réserve croît linéairement avec les primes ; la ruine ne peut donc survenir qu'à un instant de sinistre, ce qui suffit de tester.
- **Erreur de l'estimateur** : Pour N trajectoires indépendantes, la fréquence de ruine p̂ a pour erreur standard √(p̂(1-p̂)/N). Pour estimer une probabilité de 0,5 % à ±0,1 point (intervalle à 95 %), il faut environ 20 000 trajectoires.

## Conclusion

La ruine à horizon fini traduit le risque dans la temporalité de gestion de l'assureur. Faute de formule fermée, la simulation est l'outil de référence, à condition de maîtriser l'erreur d'échantillonnage et l'effet de discrétisation. Les bornes et approximations analytiques servent de garde-fous pour vérifier la cohérence des résultats.

## Cartes

### Que mesure ψ(u,T) ?

La probabilité que la réserve passe sous zéro à un instant t ≤ T, avec capital initial u.

### Quelle relation lie ψ(u,T) à ψ(u) ?

ψ(u,T) est croissante en T et majorée par ψ(u) ; elle tend vers ψ(u) quand T → ∞.

### Pourquoi ne tester la ruine qu'aux instants de sinistre dans le modèle classique ?

Entre deux sinistres la réserve augmente avec les primes : son minimum local est atteint juste après un sinistre.

### Comment simule-t-on le temps jusqu'au prochain sinistre ?

Par une loi exponentielle de paramètre λ, car le nombre de sinistres suit un processus de Poisson.

### Quelle est l'erreur standard d'une probabilité estimée sur N trajectoires ?

√(p̂(1-p̂)/N).

### Pourquoi la ruine observée aux fins d'année sous-estime-t-elle la ruine continue ?

Une réserve peut passer sous zéro puis se redresser entre deux contrôles ; le test annuel ne voit pas ces épisodes, donc ψ discret ≤ ψ continu.

### Que propose l'approximation par diffusion ?

Remplacer le processus par un mouvement brownien avec dérive : ψ(u) ≈ exp(−2(c−λμ)u / (λE[Y²])), utile pour un ordre de grandeur.

### Quel est l'intérêt d'une borne comme e^(−Ru) pour valider une simulation ?

Elle fournit un majorant indépendant : une probabilité de ruine simulée ne doit pas la dépasser, à l'erreur statistique près.

## Glossaire

- **Horizon de ruine** : Durée T sur laquelle on surveille la solvabilité.
- **Méthode de Monte Carlo** : Estimation d'une espérance ou d'une probabilité par la moyenne de nombreuses simulations aléatoires.
- **Trajectoire** : Réalisation unique du processus de réserve sur l'horizon considéré.
- **Erreur standard** : Écart-type de l'estimateur, qui mesure la précision d'un résultat simulé.
- **Charge de sécurité** : Marge θ relative des primes par rapport à la sinistralité moyenne attendue.
- **Approximation par diffusion** : Remplacement du processus de sinistres par un brownien de même moyenne et variance.

https://ruvy.ch/decks/-P5D1h7ENSn8RBFgnho_