Ruine à horizon fini et simulation Monte Carlo

Sciences actuarielles · Master 1

Probabilité de ruine sur T années, discrétisation annuelle et estimation par simulation.

Introduction

Les formules classiques de la théorie de la ruine portent sur un horizon infini, alors qu'un assureur pilote son capital sur un plan à trois ou cinq ans. La probabilité de ruine à horizon fini ψ(u,T) répond mieux à cette question de gestion, mais elle n'admet presque jamais de formule explicite.

On recourt alors à la simulation : on génère des trajectoires du processus de réserve, on compte la fraction de celles qui passent sous zéro avant T et on en déduit une estimation assortie d'une erreur statistique. Ce deck présente la logique du calcul, ses pièges de discrétisation et les approximations analytiques utiles pour contrôler les résultats.

Objectifs d'apprentissage

Distinguer ruine à horizon infini, à horizon fini et ruine observée en temps discret
Simuler une trajectoire du processus de réserve de Cramér-Lundberg
Calculer l'erreur standard d'une probabilité de ruine estimée
Interpréter l'écart entre ψ(u,T), ψ(u) et la borne de Lundberg

Concepts clés

Horizon fini contre infini: ψ(u,T) est la probabilité que la réserve devienne négative avant l'instant T. Elle croît avec T et converge vers ψ(u) quand T tend vers l'infini : ψ(u,T) ≤ ψ(u). Pour un plan à 3 ans, la ruine à horizon infini surestime donc le risque pertinent.
Simulation d'une trajectoire: On tire les temps entre sinistres (loi exponentielle de paramètre λ) puis les montants. Entre deux sinistres la réserve croît linéairement avec les primes ; la ruine ne peut donc survenir qu'à un instant de sinistre, ce qui suffit de tester.
Erreur de l'estimateur: Pour N trajectoires indépendantes, la fréquence de ruine p̂ a pour erreur standard √(p̂(1-p̂)/N). Pour estimer une probabilité de 0,5 % à ±0,1 point (intervalle à 95 %), il faut environ 20 000 trajectoires.

Conclusion

La ruine à horizon fini traduit le risque dans la temporalité de gestion de l'assureur. Faute de formule fermée, la simulation est l'outil de référence, à condition de maîtriser l'erreur d'échantillonnage et l'effet de discrétisation. Les bornes et approximations analytiques servent de garde-fous pour vérifier la cohérence des résultats.

Cartes

Que mesure ψ(u,T) ?: La probabilité que la réserve passe sous zéro à un instant t ≤ T, avec capital initial u.
Quelle relation lie ψ(u,T) à ψ(u) ?: ψ(u,T) est croissante en T et majorée par ψ(u) ; elle tend vers ψ(u) quand T → ∞.
Pourquoi ne tester la ruine qu'aux instants de sinistre dans le modèle classique ?: Entre deux sinistres la réserve augmente avec les primes : son minimum local est atteint juste après un sinistre.
Comment simule-t-on le temps jusqu'au prochain sinistre ?: Par une loi exponentielle de paramètre λ, car le nombre de sinistres suit un processus de Poisson.
Quelle est l'erreur standard d'une probabilité estimée sur N trajectoires ?: √(p̂(1-p̂)/N).
Pourquoi la ruine observée aux fins d'année sous-estime-t-elle la ruine continue ?: Une réserve peut passer sous zéro puis se redresser entre deux contrôles ; le test annuel ne voit pas ces épisodes, donc ψ discret ≤ ψ continu.
Que propose l'approximation par diffusion ?: Remplacer le processus par un mouvement brownien avec dérive : ψ(u) ≈ exp(−2(c−λμ)u / (λE[Y²])), utile pour un ordre de grandeur.
Quel est l'intérêt d'une borne comme e^(−Ru) pour valider une simulation ?: Elle fournit un majorant indépendant : une probabilité de ruine simulée ne doit pas la dépasser, à l'erreur statistique près.

Glossaire

Horizon de ruine: Durée T sur laquelle on surveille la solvabilité.
Méthode de Monte Carlo: Estimation d'une espérance ou d'une probabilité par la moyenne de nombreuses simulations aléatoires.
Trajectoire: Réalisation unique du processus de réserve sur l'horizon considéré.
Erreur standard: Écart-type de l'estimateur, qui mesure la précision d'un résultat simulé.
Charge de sécurité: Marge θ relative des primes par rapport à la sinistralité moyenne attendue.
Approximation par diffusion: Remplacement du processus de sinistres par un brownien de même moyenne et variance.