# Modèle de Cox à risques proportionnels

Sciences actuarielles · Master 1

> Régression semi-paramétrique : hasard de base, rapport de risque, vraisemblance partielle.

## Introduction

Pour mesurer l'effet de covariables (âge, tabagisme, profession, type de contrat) sur la durée de survie ou sur le temps jusqu'à la résiliation, le modèle de Cox est l'outil standard. Il évite de choisir une loi pour la durée, tout en quantifiant l'effet des facteurs de risque.

Le taux de hasard d'un individu s'écrit h(t|x) = h0(t) × exp(β'x) : un hasard de base commun, multiplié par un facteur propre aux covariables. L'exponentielle d'un coefficient s'interprète directement comme un rapport de risque.

Ce deck présente l'estimation par vraisemblance partielle, l'interprétation des coefficients, le traitement des ex aequo et la vérification de l'hypothèse de proportionnalité.

## Objectifs d'apprentissage

- Écrire et interpréter le modèle de Cox
- Calculer et commenter un rapport de risque exp(β)
- Expliquer le principe de la vraisemblance partielle
- Tester l'hypothèse de proportionnalité des risques

## Concepts clés

- **Structure du modèle** : h(t|x) = h0(t) exp(β1 x1 + ... + βp xp). Le hasard de base h0(t) est laissé non spécifié, d'où le caractère semi-paramétrique.
- **Rapport de risque** : exp(β_j) est le facteur multiplicatif du hasard quand x_j augmente d'une unité, les autres covariables restant fixes. Il est constant dans le temps, c'est l'hypothèse de proportionnalité.
- **Vraisemblance partielle** : À chaque décès, on compare le facteur exp(β'x) de l'individu décédé à la somme des facteurs de tous les individus à risque. Le produit de ces probabilités ne dépend pas de h0(t) et permet d'estimer β.
- **Ex aequo** : Quand plusieurs décès surviennent au même instant, on approxime la vraisemblance partielle (méthodes de Breslow ou d'Efron). Efron est en général plus précis quand les ex aequo sont nombreux.
- **Vérification de la proportionnalité** : On examine les résidus de Schoenfeld en fonction du temps ou on ajoute une interaction covariable × temps. Une tendance indique que l'effet varie dans le temps ; on peut alors stratifier ou utiliser des covariables dépendant du temps.

## Conclusion

Le modèle de Cox combine souplesse (hasard de base libre) et interprétabilité (rapports de risque). Son usage exige de vérifier la proportionnalité et de traiter correctement ex aequo et censure.

Il constitue la base de nombreuses études de mortalité, d'invalidité et de comportement des assurés.

## Cartes

### Que signifie « semi-paramétrique » pour Cox ?

L'effet des covariables est paramétrique (β) tandis que le hasard de base h0(t) n'est pas spécifié.

### Comment interpréter exp(β) = 1,5 ?

Le hasard est multiplié par 1,5 quand la covariable augmente d'une unité (ou pour la catégorie par rapport à la référence), soit 50 % de risque en plus.

### Quel coefficient correspond à un rapport de risque de 1 ?

β = 0 : la covariable n'a pas d'effet sur le hasard.

### Pourquoi h0(t) disparaît-il de la vraisemblance partielle ?

Parce qu'il figure au numérateur et au dénominateur de chaque terme et se simplifie.

### Que signifie l'hypothèse de risques proportionnels ?

Le rapport des hasards de deux individus est constant dans le temps.

### Comment la tester ?

Avec les résidus de Schoenfeld, ou un terme d'interaction covariable × log(temps).

### Que faire si la proportionnalité est rejetée ?

Stratifier sur la variable concernée, introduire une interaction avec le temps ou changer de modèle.

### Comment la censure est-elle gérée ?

Les censurés restent dans l'ensemble à risque jusqu'à leur date de sortie et ne contribuent pas comme décès.

### Quelle différence avec un modèle paramétrique de Weibull ?

Cox ne spécifie pas h0(t) ; Weibull impose une forme, ce qui permet de prédire hors de la période observée.

### Citer deux usages en assurance.

Mortalité selon facteurs de risque, et durée avant résiliation ou rachat d'un contrat.

## Glossaire

- **Hasard de base** : Fonction h0(t) commune, hasard d'un individu dont toutes les covariables valent zéro.
- **Rapport de risque** : Rapport des hasards pour deux profils de covariables, égal à exp(β) pour une unité.
- **Vraisemblance partielle** : Fonction de β construite sur l'ordre des décès, sans h0(t).
- **Résidus de Schoenfeld** : Résidus par covariable utilisés pour vérifier la proportionnalité des risques.
- **Stratification** : Estimation de hasards de base distincts par strate, avec des coefficients communs.
- **Covariable dépendant du temps** : Variable dont la valeur change pendant le suivi, par exemple un changement de statut.

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