Kaplan-Meier, censure et Nelson-Aalen

Sciences actuarielles · Bachelor 3

Estimer une fonction de survie avec données censurées : Kaplan-Meier, Greenwood et Nelson-Aalen.

Introduction

En assurance comme en épidémiologie, on observe rarement la durée de vie complète de chaque individu : l'étude s'arrête, la personne quitte le portefeuille ou résilie son contrat. Ces observations incomplètes s'appellent des données censurées, et les ignorer ou les traiter comme des décès fausserait toute estimation.

L'estimateur de Kaplan-Meier fournit une estimation non paramétrique de la fonction de survie S(t) en exploitant l'information partielle apportée par chaque individu. Il se construit comme un produit de probabilités conditionnelles de survie calculées à chaque instant de décès observé.

Le deck présente la logique de la censure, le calcul pas à pas, la variance de Greenwood, puis l'estimateur de Nelson-Aalen du risque cumulé, qui relie la survie au taux de hasard.

Objectifs d'apprentissage

Distinguer censure à droite, censure par intervalle et troncature à gauche
Calculer un estimateur de Kaplan-Meier sur un petit échantillon
Interpréter la médiane de survie et un intervalle de confiance
Relier Nelson-Aalen et Kaplan-Meier par S(t) ≈ exp(-H(t))

Concepts clés

Censure à droite: Un individu est censuré à droite lorsque l'on sait seulement que sa durée dépasse un certain temps (fin de l'étude, sortie du portefeuille). L'hypothèse clé est que la censure est non informative : elle ne dépend pas du risque de décès.
Estimateur de Kaplan-Meier: S^(t) = produit sur les instants t_i ≤ t de (1 - d_i / n_i), où d_i est le nombre de décès en t_i et n_i le nombre d'individus encore à risque juste avant t_i. La fonction est en escalier et ne change qu'aux décès.
Ensemble à risque: À chaque instant, n_i compte les individus observés et toujours vivants. Les censurés sortent de l'ensemble à risque après leur date de censure, ce qui réduit n_i pour les décès suivants.
Nelson-Aalen et risque cumulé: H^(t) = somme de d_i / n_i sur les t_i ≤ t estime le risque cumulé. On retrouve une survie approchée par exp(-H^(t)), très proche de Kaplan-Meier quand les effectifs sont grands.
Troncature à gauche: Un individu n'entre dans l'observation qu'à un âge donné (par exemple l'affiliation à une caisse de pensions à 25 ans). Il n'appartient à l'ensemble à risque qu'à partir de cet âge : l'ignorer biaise la mortalité vers le bas.

Conclusion

Kaplan-Meier est l'outil de référence pour estimer une survie sans hypothèse paramétrique. Sa fiabilité repose sur une définition rigoureuse de l'ensemble à risque et sur l'hypothèse de censure non informative.

L'estimateur de Nelson-Aalen complète l'analyse en estimant le risque cumulé ; ces deux outils préparent les modèles de régression comme celui de Cox.

Cartes

Que signifie une donnée censurée à droite ?: On sait que l'individu a survécu au moins jusqu'à un temps donné, mais on ignore sa durée totale.
Quelle est la formule de Kaplan-Meier ?: S^(t) = produit des (1 - d_i/n_i) sur tous les instants de décès t_i ≤ t.
Quand la courbe de Kaplan-Meier change-t-elle de valeur ?: Uniquement aux instants de décès observés ; une censure ne la fait pas chuter mais réduit l'ensemble à risque.
Que représente n_i ?: Le nombre d'individus encore à risque juste avant l'instant t_i, censurés ultérieurs compris.
Exemple : 10 individus, un décès au 1er instant. Que vaut S^ ?: 1 - 1/10 = 0,90.
Suite : un individu est censuré, puis un décès parmi les 8 restants. Que vaut S^ ?: 0,90 × (1 - 1/8) = 0,7875.
Comment lit-on la médiane de survie ?: C'est le plus petit t tel que S^(t) ≤ 0,5 ; elle n'existe pas si la courbe ne descend jamais sous 0,5.
À quoi sert la formule de Greenwood ?: Elle estime la variance de S^(t) : Var = S^(t)² × somme de d_i / (n_i (n_i - d_i)), base des intervalles de confiance.
Que se passe-t-il si la censure est informative ?: L'estimateur est biaisé : par exemple si les assurés en mauvaise santé résilient plus souvent, la survie est surestimée.
Quel lien entre Nelson-Aalen et Kaplan-Meier ?: H^(t) = somme de d_i/n_i et S^(t) ≈ exp(-H^(t)) ; les deux estimateurs coïncident asymptotiquement.

Glossaire

Fonction de survie: Probabilité S(t) = P(T > t) que la durée T dépasse t.
Taux de hasard: Intensité instantanée de décès h(t) sachant la survie jusqu'en t ; h(t) = f(t)/S(t).
Censure non informative: Hypothèse selon laquelle le mécanisme de censure est indépendant de la durée de vie.
Ensemble à risque: Ensemble des individus observables et non encore décédés ni censurés à un instant donné.
Formule de Greenwood: Estimateur de la variance de la courbe de Kaplan-Meier.
Risque cumulé: H(t) = intégrale du taux de hasard de 0 à t, avec S(t) = exp(-H(t)).