Processus de Poisson : homogène, non homogène

Sciences actuarielles · Bachelor 3

Arrivées de sinistres : propriétés du processus de Poisson, intensité variable et sinistres cumulés.

Introduction

Le processus de Poisson est le modèle de base pour compter les sinistres dans le temps : tempêtes, accidents, déclarations d'invalidité. Il repose sur des arrivées indépendantes, une intensité λ et des incréments stationnaires.

La version homogène suppose une intensité constante, alors que la version non homogène laisse l'intensité varier, par exemple avec la saison. Le processus de Poisson composé ajoute à chaque arrivée un montant de sinistre aléatoire et fournit la charge totale.

Le deck présente les propriétés essentielles, les opérations de superposition et d'amincissement, ainsi que la question de la surdispersion qui amène aux processus de Cox.

Objectifs d'apprentissage

Calculer des probabilités et moments d'un processus de Poisson
Passer du modèle homogène au modèle non homogène via l'intensité cumulée
Utiliser superposition et amincissement
Calculer l'espérance et la variance d'une charge totale composée

Concepts clés

Définition homogène: N(t) est de Poisson de paramètre λt : P(N(t)=k) = exp(-λt)(λt)^k / k!. Espérance et variance valent toutes deux λt, et les incréments sur des intervalles disjoints sont indépendants.
Temps d'inter-arrivée: Les durées entre deux sinistres sont indépendantes et de loi exponentielle de paramètre λ, de moyenne 1/λ. L'absence de mémoire de l'exponentielle caractérise le processus.
Non homogène: L'intensité λ(t) dépend du temps ; l'intensité cumulée Λ(t) = intégrale de λ(u) du donne N(t) ~ Poisson(Λ(t)). La grêle ou les accidents hivernaux illustrent ce cas.
Superposition et amincissement: La somme de processus de Poisson indépendants d'intensités λ1, λ2 est de Poisson d'intensité λ1 + λ2. Si chaque sinistre est de type A avec probabilité p, les sinistres de type A forment un Poisson d'intensité pλ.
Poisson composé: S(t) = somme des X_i jusqu'à N(t). E[S(t)] = λt E[X] et Var[S(t)] = λt E[X²]. Cette formule de variance est typique du modèle collectif.

Conclusion

Le processus de Poisson fournit un cadre simple et calculable pour les arrivées de sinistres. Ses extensions (non homogène, composé, de Cox) répondent aux phénomènes de saisonnalité, de montants aléatoires et de surdispersion.

Ces outils alimentent les modèles collectifs et la théorie de la ruine.

Cartes

Quelle loi suit N(t) dans un Poisson homogène ?: Une loi de Poisson de paramètre λt.
Quelle est la variance de N(t) ?: λt, égale à l'espérance (équidispersion).
Quelle loi suivent les temps entre sinistres ?: Exponentielle de paramètre λ, donc de moyenne 1/λ.
Que signifie l'absence de mémoire ?: P(T > s + t | T > s) = P(T > t) : attendre ne change pas la probabilité d'un sinistre à venir.
Comment passer au cas non homogène ?: Remplacer λt par Λ(t) = ∫ λ(u) du.
Qu'obtient-on en amincissant par une probabilité p ?: Un Poisson d'intensité pλ ; les types A et B retenus sont indépendants.
Quelle est la variance du Poisson composé ?: Var[S(t)] = λt E[X²], et non λt Var[X].
Exemple : λ = 2 par mois, E[X] = 5000 CHF. Quel E[S] sur 3 mois ?: 2 × 3 × 5000 = 30 000 CHF.
Comment détecter une surdispersion ?: En comparant variance empirique et moyenne des comptages : Var > E indique que Poisson ne convient pas.
Quel modèle remédie à la surdispersion ?: Un Poisson mixte (par exemple binomiale négative) ou un processus de Cox à intensité aléatoire.

Glossaire

Processus de comptage: Processus croissant à valeurs entières comptant des événements.
Intensité: Taux d'arrivée λ des événements par unité de temps.
Intensité cumulée: Λ(t) = intégrale de l'intensité de 0 à t.
Poisson composé: Somme d'un nombre poissonnien de montants indépendants.
Amincissement: Sélection aléatoire indépendante d'événements d'un processus de Poisson.
Processus de Cox: Poisson dont l'intensité est elle-même aléatoire.