Martingales et temps d'arrêt en assurance

Sciences actuarielles · Master 2

Jeu équitable, théorème d'arrêt et identité de Wald appliqués aux réserves et aux sinistres.

Introduction

Une martingale modélise un jeu équitable : à tout instant, la meilleure prévision de la valeur future est la valeur présente. Cette propriété apparaît partout en actuariat, des prix actualisés sous probabilité risque-neutre à l'évolution des estimations de sinistres.

Les temps d'arrêt, c'est-à-dire des instants de décision qui ne dépendent que de l'information passée, permettent de formuler des résultats puissants comme le théorème d'arrêt optionnel et l'identité de Wald.

Le deck montre comment ces outils se manipulent sur des exemples d'assurance, sans refaire la théorie de la ruine déjà vue ailleurs.

Objectifs d'apprentissage

Vérifier qu'un processus est une martingale
Définir un temps d'arrêt
Utiliser le théorème d'arrêt optionnel et l'identité de Wald
Reconnaître des martingales naturelles en assurance

Concepts clés

Définition: Un processus (M_n) adapté et intégrable est une martingale si E[M_{n+1} | F_n] = M_n. Les incréments sont donc d'espérance nulle conditionnellement au passé.
Exemples: Une somme de variables centrées indépendantes ; le processus de Poisson compensé N(t) - λt ; l'estimation Z_t = E[charge ultime | F_t], qui évolue comme une martingale selon l'information reçue.
Temps d'arrêt: Une variable aléatoire τ est un temps d'arrêt si l'événement {τ ≤ t} est connu avec l'information jusqu'à t. Le premier instant où une réserve devient négative en est un.
Théorème d'arrêt optionnel: Sous des conditions de régularité (τ borné, ou martingale uniformément intégrable), E[M_τ] = E[M_0]. On ne peut pas battre un jeu équitable avec une stratégie d'arrêt.
Identité de Wald: Si X_i sont i.i.d. intégrables et τ un temps d'arrêt d'espérance finie, alors E[X_1 + ... + X_τ] = E[τ] E[X_1].

Conclusion

Les martingales formalisent l'équité d'un jeu et la mise à jour de l'information. Les temps d'arrêt et les théorèmes associés fournissent des identités exactes sur des sommes aléatoires.

Leur maîtrise prépare à la finance mathématique et à la modélisation des réserves.

Cartes

Qu'est-ce qu'une martingale ?: Un processus dont l'espérance future conditionnelle est égale à la valeur présente.
Pourquoi N(t) - λt est-il une martingale ?: Les incréments de Poisson ont une espérance λ dt, que la compensation retire.
Qu'est-ce qu'un temps d'arrêt ?: Un instant dont la réalisation se détermine avec l'information disponible, sans regarder le futur.
Le dernier instant avant le maximum est-il un temps d'arrêt ?: Non, il exige de connaître le futur.
Que dit le théorème d'arrêt optionnel ?: Sous conditions, E[M_τ] = E[M_0].
Peut-on l'appliquer sans condition ?: Non : la stratégie du doublement des mises montre que l'intégrabilité est indispensable.
Énoncer l'identité de Wald.: E[S_τ] = E[τ] E[X_1] pour des X_i i.i.d. et un temps d'arrêt τ intégrable.
Exemple de Wald en assurance.: Nombre aléatoire de sinistres jusqu'au premier dépassement d'un seuil : la charge attendue est E[τ] E[X].
Pourquoi les estimations d'ultime forment-elles une martingale ?: Parce que Z_t = E[U | F_t] intègre l'information : on n'anticipe pas ses révisions futures (hypothèse d'efficience).
Une sous-martingale ?: E[M_{n+1} | F_n] ≥ M_n : tendance haussière.

Glossaire

Filtration: Famille croissante de tribus décrivant l'information disponible.
Martingale: Processus à prévision conditionnelle égale à la valeur présente.
Temps d'arrêt: Instant dont la réalisation ne dépend que de l'information passée.
Théorème d'arrêt: E[M_τ] = E[M_0] sous conditions.
Identité de Wald: E[S_τ] = E[τ]E[X] pour un temps d'arrêt.
Poisson compensé: N(t) - λt, martingale du comptage de sinistres.