Markov à temps continu et modèles multi-états

Sciences actuarielles · Master 1

Générateur, équations de Kolmogorov et modèle actif-invalide-décédé en assurance de personnes.

Introduction

Un assuré passe au cours du temps par plusieurs états : actif, invalide, décédé, ou encore sain, malade, en soins de longue durée. Une chaîne de Markov à temps continu décrit ces transitions par des intensités propres à chaque passage.

La matrice génératrice Q rassemble toutes les intensités. Les probabilités de transition P(t) sont obtenues en résolvant les équations de Kolmogorov, ce qui permet de calculer probabilités d'état, primes et réserves.

Le deck présente la structure de Q, les équations rétrograde et progressive, la loi du temps de séjour et un exemple en trois états.

Objectifs d'apprentissage

Construire un générateur à partir d'intensités de transition
Écrire les équations de Kolmogorov
Calculer temps de séjour et probabilités de saut
Appliquer le modèle à l'invalidité ou aux soins de longue durée

Concepts clés

Propriété de Markov: Le futur ne dépend du passé que par l'état présent. Le modèle suppose donc que l'intensité de sortie ne dépend pas de la durée passée dans l'état, hypothèse parfois discutable en invalidité.
Générateur Q: Les éléments hors diagonale q_ij ≥ 0 sont les intensités de transition de i vers j. Chaque ligne somme à zéro, et -q_ii est l'intensité totale de sortie de l'état i.
Équations de Kolmogorov: Progressive : dP/dt = P Q. Rétrograde : dP/dt = Q P. Avec P(0) = I, la solution est P(t) = exp(tQ).
Temps de séjour: Le temps passé dans l'état i est exponentiel de paramètre -q_ii, de moyenne 1/(-q_ii). À la sortie, l'état suivant est j avec probabilité q_ij / (-q_ii).
Modèle à trois états: Actif, invalide et décédé : transitions actif vers invalide (intensité d'invalidité), actif vers décédé, invalide vers décédé, éventuellement invalide vers actif (réactivation). Le décès est un état absorbant.

Conclusion

Les chaînes de Markov à temps continu offrent un langage unifié pour les assurances à plusieurs états. Q concentre les hypothèses du modèle et exp(tQ) donne les probabilités.

Leurs limites (dépendance à la durée) conduisent vers les modèles semi-markoviens.

Cartes

Que dit la propriété de Markov ?: À état présent donné, le futur est indépendant du passé.
Que contient la matrice Q ?: Les intensités de transition hors diagonale et, sur la diagonale, l'opposé de l'intensité totale de sortie.
Quelle est la somme de chaque ligne de Q ?: Zéro.
Que vaut P(t) en fonction de Q ?: P(t) = exp(tQ), exponentielle de matrice.
Quelle différence entre Kolmogorov progressive et rétrograde ?: Progressive : dP/dt = PQ ; rétrograde : dP/dt = QP.
Quelle loi suit le temps de séjour dans l'état i ?: Exponentielle de paramètre -q_ii.
Exemple : q_ii = -0,2. Durée moyenne de séjour ?: 1/0,2 = 5 années.
Comment un état absorbant se reconnaît-il ?: Toute la ligne de Q est nulle : on ne le quitte plus, comme le décès.
Quelle limite du modèle markovien pour l'invalidité ?: L'intensité de décès ou de réactivation dépend souvent de la durée passée en invalidité, ce qui sort du cadre de Markov (modèle semi-markovien).
À quoi servent les probabilités de transition ?: Au calcul de primes, de réserves et de valeurs actuelles dans les assurances multi-états.

Glossaire

Générateur: Matrice Q des intensités de transition.
État absorbant: État dont on ne peut sortir.
Intensité de transition: Taux instantané de passage d'un état à un autre.
Équation de Kolmogorov: Équation différentielle reliant P(t) et Q.
Temps de séjour: Durée passée dans un état avant de le quitter.
Semi-markovien: Modèle dont les intensités dépendent de la durée passée dans l'état.