# Modèles à sauts : diffusion de Merton et queues épaisses

Sciences actuarielles · Master 2

> Processus de Poisson composé, compensation de dérive et calibration de sauts sur actions.

## Introduction

Les rendements d'actions et de portefeuilles réels présentent des queues plus épaisses que la loi normale et des chocs brusques que le mouvement brownien décrit mal. Le modèle de Merton ajoute à la diffusion un processus de sauts, qui permet de représenter des krachs ou des annonces soudaines.

La dynamique est dS/S = (μ − λk)dt + σ dW + (J − 1)dN, où N est un processus de Poisson d'intensité λ, J le facteur multiplicatif d'un saut (souvent lognormal) et k = E[J − 1]. Le terme −λk compense la dérive moyenne des sauts. Le log-rendement est alors une somme d'un terme brownien et d'un Poisson composé.

Le marché devient incomplet : le risque de saut ne peut être couvert parfaitement par le sous-jacent seul, et plusieurs mesures risque-neutre sont possibles. L'actuaire utilise ces modèles pour des scénarios de crise et pour des mesures de risque de queue, en sachant que la calibration est difficile.

## Objectifs d'apprentissage

- Écrire la dynamique de Merton et expliquer la compensation de dérive
- Décrire un processus de Poisson composé
- Expliquer l'effet des sauts sur asymétrie et kurtosis
- Comprendre pourquoi le marché devient incomplet
- Discuter la calibration des paramètres de saut

## Concepts clés

- **Poisson composé** : Processus Σ_{i≤N_t} Y_i, où N_t compte les sauts (intensité λ) et Y_i sont leurs tailles indépendantes et identiquement distribuées.
- **Dynamique de Merton** : dS/S = (μ − λk)dt + σ dW + (J − 1)dN avec k = E[J − 1]. La compensation −λk garantit que la dérive moyenne globale reste μ.
- **Log-rendement** : ln(S_t/S_0) = (μ − σ²/2 − λk)t + σW_t + Σ ln J_i. La somme de sauts alourdit les queues et peut créer une asymétrie négative.
- **Marché incomplet** : Les sauts ne peuvent être répliqués par le seul sous-jacent : il n'existe pas de prix unique sans choisir une mesure et un prix du risque de saut.
- **Calibration** : Les paramètres λ, moyenne et volatilité des sauts se calibrent sur des moments des rendements ou sur des prix d'options ; ils sont difficiles à identifier avec peu de données extrêmes.

## Conclusion

Les modèles à sauts rapprochent la modélisation des rendements observés : krachs, queues épaisses, asymétrie. Le modèle de Merton en est la porte d'entrée, avec une structure simple mais une calibration délicate.

Pour l'actuaire, leur intérêt est la construction de scénarios de crise et l'estimation des risques de queue, à manier avec transparence sur l'incertitude des paramètres.

## Cartes

### Que représente λ dans le modèle de Merton ?

L'intensité du processus de Poisson, c'est-à-dire le nombre moyen de sauts par unité de temps.

### Pourquoi compense-t-on la dérive par −λk ?

Pour que l'espérance du rendement instantané reste μ malgré l'effet moyen des sauts.

### Que vaut k dans le modèle ?

k = E[J − 1], l'espérance de la variation relative due à un saut.

### Quel effet les sauts ont-ils sur la loi des rendements ?

Ils alourdissent les queues (kurtosis plus élevé) et peuvent créer une asymétrie.

### Pourquoi le marché est-il incomplet avec des sauts ?

Parce qu'un actif unique ne permet pas de répliquer le risque de saut, donc plusieurs prix sont compatibles avec l'absence d'arbitrage.

### Quel est le rôle de la composante brownienne ?

Elle décrit les petites fluctuations continues autour des sauts.

### Quelle loi donne les tailles de saut dans Merton ?

Typiquement une loi lognormale pour le facteur J, donc ln J est gaussien.

### Pourquoi la calibration des sauts est-elle difficile ?

Les événements extrêmes sont rares, donc les données sont peu nombreuses et les paramètres instables.

### Pour quel usage actuariel emploie-t-on ces modèles ?

Pour construire des scénarios de crise actions et évaluer les pertes de queue d'un portefeuille.

## Glossaire

- **Processus de Poisson** : Processus de comptage d'événements indépendants à intensité constante.
- **Intensité** : Nombre moyen d'événements par unité de temps.
- **Saut** : Variation brusque et discontinue de la valeur d'un actif.
- **Kurtosis** : Mesure de l'épaisseur des queues d'une distribution.
- **Marché incomplet** : Marché où certains risques ne peuvent être répliqués par les actifs disponibles.
- **Compensateur** : Terme retranché pour que l'effet moyen des sauts n'altère pas la dérive.

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