Volatilité stochastique : le modèle de Heston

Sciences actuarielles · Master 2

Dynamique à deux facteurs, retour à la moyenne de la variance, corrélation et condition de Feller.

Introduction

Dans le modèle de Black-Scholes, la volatilité est constante, ce qui contredit l'observation de grappes de volatilité et du smile d'options. Le modèle de Heston rend la variance elle-même aléatoire : dS = μS dt + √v·S dW¹ et dv = κ(θ − v)dt + ξ√v dW², avec corr(dW¹, dW²) = ρ.

La variance revient vers sa moyenne de long terme θ à la vitesse κ, et ξ mesure la volatilité de la variance. Une corrélation ρ négative reproduit l'effet de levier : les baisses de prix vont de pair avec des hausses de volatilité, ce qui crée une asymétrie. La condition de Feller 2κθ ≥ ξ² assure que la variance reste strictement positive.

Heston admet une fonction caractéristique explicite, ce qui permet des valorisations rapides par transformée de Fourier et une calibration sur les prix d'options. En assurance, il sert à évaluer des garanties de rendement et à générer des scénarios réalistes de volatilité.

Objectifs d'apprentissage

Écrire les deux équations du modèle de Heston
Interpréter κ, θ, ξ et ρ
Énoncer la condition de Feller et sa signification
Expliquer comment Heston reproduit un smile de volatilité
Discuter la calibration et ses limites

Concepts clés

Dynamique à deux facteurs: dS = μS dt + √v S dW¹ ; dv = κ(θ − v)dt + ξ√v dW² ; d⟨W¹,W²⟩ = ρ dt. La variance suit un processus de type CIR.
Rôle des paramètres: κ : vitesse de retour à la moyenne ; θ : variance de long terme ; ξ : volatilité de la variance ; v₀ : variance initiale ; ρ : corrélation entre prix et variance.
Effet de levier: Avec ρ < 0, la volatilité monte quand les prix baissent : la distribution des rendements est asymétrique avec une queue gauche plus épaisse.
Condition de Feller: Si 2κθ ≥ ξ², la variance ne touche pas zéro. Dans les calibrations réelles, elle est souvent violée, ce qui impose une discrétisation prudente.
Calibration: Les paramètres se calibrent par minimisation d'écarts entre prix de marché et prix du modèle sur la surface de volatilité implicite. Le problème est mal conditionné et sensible aux valeurs initiales.

Conclusion

Le modèle de Heston corrige l'une des limites majeures de Black-Scholes en rendant la volatilité aléatoire et corrélée aux prix. Il permet de reproduire un smile et de produire des scénarios plus réalistes.

Sa calibration et la condition de Feller demandent de la prudence : le modèle est un outil de description, pas une vérité.

Cartes

Que décrit θ dans Heston ?: La variance de long terme vers laquelle v revient.
Que mesure κ ?: La vitesse de retour à la moyenne de la variance.
Que mesure ξ ?: La volatilité de la variance (« vol of vol »).
Quel signe a typiquement ρ pour les actions ?: Négatif : les baisses de cours s'accompagnent de hausses de volatilité.
Que garantit la condition de Feller ?: Que le processus de variance reste strictement positif.
Écrivez la condition de Feller.: 2κθ ≥ ξ².
Pourquoi Heston reproduit-il un smile ?: Parce que la volatilité aléatoire épaissit les queues et ρ introduit une asymétrie des prix d'options.
Quel avantage numérique offre Heston ?: Une fonction caractéristique explicite, donc des prix d'options par transformée de Fourier sans simulation.
Pourquoi la calibration est-elle délicate ?: Plusieurs jeux de paramètres donnent des prix proches, et les résultats dépendent de l'initialisation.

Glossaire

Volatilité stochastique: Volatilité qui évolue aléatoirement dans le temps.
Retour à la moyenne: Tendance d'une variable à revenir vers un niveau de long terme.
Effet de levier: Corrélation négative entre rendement et volatilité.
Condition de Feller: Inégalité assurant qu'un processus de type CIR reste strictement positif.
Smile de volatilité: Courbure de la volatilité implicite en fonction du prix d'exercice.
Fonction caractéristique: Transformée de Fourier de la loi d'une variable aléatoire.