# Discrétiser une EDS : schémas d'Euler-Maruyama et de Milstein Sciences actuarielles · Master 2 > Simulation d'équations différentielles stochastiques, ordres de convergence forte et faible. ## Introduction La plupart des modèles financiers utilisés en assurance s'écrivent comme des équations différentielles stochastiques (EDS) dX = a(X,t)dt + b(X,t)dW. Peu admettent une solution explicite : on les simule donc en discrétisant le temps en pas Δt et en générant des accroissements browniens ΔW = √Δt·Z avec Z de loi normale centrée réduite. Le schéma d'Euler-Maruyama met à jour X_{n+1} = X_n + a·Δt + b·ΔW. Simple, il converge avec un ordre fort de 1/2 et un ordre faible de 1. Le schéma de Milstein ajoute le terme correctif (1/2)·b·b'·(ΔW² − Δt), qui porte l'ordre fort à 1 pour une EDS à un seul facteur de bruit. Le choix du schéma dépend de l'usage. Pour estimer l'espérance d'un payoff ou d'un indicateur de risque, l'ordre faible compte ; pour reproduire la trajectoire elle-même, c'est l'ordre fort. Pour des processus devant rester positifs, comme le CIR, des corrections (troncature) sont nécessaires. ## Objectifs d'apprentissage - Écrire le schéma d'Euler-Maruyama pour une EDS donnée - Expliquer le terme correctif de Milstein - Distinguer convergence forte et convergence faible - Comparer un schéma à la solution exacte du mouvement brownien géométrique - Traiter le problème des valeurs négatives dans un modèle de taux ## Concepts clés - **Euler-Maruyama** : X_{n+1} = X_n + a(X_n)Δt + b(X_n)ΔW_n, avec ΔW_n = √Δt·Z_n. C'est l'analogue stochastique du schéma d'Euler déterministe. - **Schéma de Milstein** : X_{n+1} = X_n + aΔt + bΔW + (1/2)·b·b'·(ΔW² − Δt). Le terme supplémentaire, issu du développement d'Itô-Taylor, améliore la précision des trajectoires. - **Convergence forte et faible** : Forte : E|X_T − X_T^Δt| est de l'ordre de Δt^γ (trajectoires). Faible : |E[f(X_T)] − E[f(X_T^Δt)]| est de l'ordre de Δt^β (lois). Euler : γ = 1/2, β = 1. Milstein : γ = 1. - **Cas exact du GBM** : Pour dS = μS dt + σS dW, S_T = S_0·exp((μ − σ²/2)T + σW_T). Simuler ce schéma exact évite l'erreur de discrétisation. - **Positivité** : Pour dr = κ(θ − r)dt + σ√r dW (CIR), Euler peut donner des valeurs négatives. On applique par exemple r⁺ = max(r, 0) dans la diffusion et la dérive (troncature complète). ## Conclusion Discrétiser une EDS est un compromis entre précision, simplicité et coût. Euler-Maruyama suffit souvent pour estimer des espérances ; Milstein améliore les trajectoires quand la volatilité dépend de l'état. Les tests de convergence en réduisant Δt et la comparaison à des solutions exactes restent des réflexes de validation indispensables. ## Cartes ### Quel est le schéma d'Euler-Maruyama ? X_{n+1} = X_n + a·Δt + b·ΔW, où ΔW = √Δt·Z avec Z ~ N(0,1). ### Quel terme distingue le schéma de Milstein ? Le terme (1/2)·b·b'·(ΔW² − Δt), qui corrige la variation de la volatilité le long de la trajectoire. ### Quel est l'ordre de convergence forte d'Euler-Maruyama ? 1/2. ### Quel est l'ordre de convergence faible d'Euler-Maruyama ? 1. ### Quand le terme de Milstein disparaît-il ? Quand b est constant (b' = 0) : Milstein et Euler coïncident, par exemple pour le modèle de Vasicek. ### Quelle est la solution exacte du GBM dS = μS dt + σS dW ? S_T = S_0·exp((μ − σ²/2)T + σW_T). ### Pourquoi utiliser la convergence faible pour valoriser un produit ? Parce que seule l'espérance d'une fonction de X_T compte, pas l'exactitude de chaque trajectoire. ### Quel problème pose Euler pour le modèle CIR ? Le processus discrétisé peut devenir négatif, ce qui rend la racine carrée indéfinie. ### Comment choisir le pas Δt ? En testant la stabilité du résultat quand Δt diminue ; on arbitre entre précision et coût de calcul. ## Glossaire - **Mouvement brownien** : Processus à accroissements indépendants et gaussiens, de variance égale à la durée. - **Équation différentielle stochastique** : Équation dX = a dt + b dW décrivant une dynamique perturbée par un bruit brownien. - **Convergence forte** : Précision mesurée sur les trajectoires, via l'erreur moyenne en valeur absolue. - **Convergence faible** : Précision mesurée sur les espérances de fonctions du processus. - **Développement d'Itô-Taylor** : Analogue stochastique du développement de Taylor, source des schémas d'ordre élevé. - **Troncature complète** : Méthode qui remplace par zéro les valeurs négatives dans la dérive et la diffusion d'un processus devant rester positif. https://ruvy.ch/decks/-P5D-_6JRW5Yql5twsxn