Discrétiser une EDS : schémas d'Euler-Maruyama et de Milstein

Sciences actuarielles · Master 2

Simulation d'équations différentielles stochastiques, ordres de convergence forte et faible.

Introduction

La plupart des modèles financiers utilisés en assurance s'écrivent comme des équations différentielles stochastiques (EDS) dX = a(X,t)dt + b(X,t)dW. Peu admettent une solution explicite : on les simule donc en discrétisant le temps en pas Δt et en générant des accroissements browniens ΔW = √Δt·Z avec Z de loi normale centrée réduite.

Le schéma d'Euler-Maruyama met à jour X_{n+1} = X_n + a·Δt + b·ΔW. Simple, il converge avec un ordre fort de 1/2 et un ordre faible de 1. Le schéma de Milstein ajoute le terme correctif (1/2)·b·b'·(ΔW² − Δt), qui porte l'ordre fort à 1 pour une EDS à un seul facteur de bruit.

Le choix du schéma dépend de l'usage. Pour estimer l'espérance d'un payoff ou d'un indicateur de risque, l'ordre faible compte ; pour reproduire la trajectoire elle-même, c'est l'ordre fort. Pour des processus devant rester positifs, comme le CIR, des corrections (troncature) sont nécessaires.

Objectifs d'apprentissage

Écrire le schéma d'Euler-Maruyama pour une EDS donnée
Expliquer le terme correctif de Milstein
Distinguer convergence forte et convergence faible
Comparer un schéma à la solution exacte du mouvement brownien géométrique
Traiter le problème des valeurs négatives dans un modèle de taux

Concepts clés

Euler-Maruyama: X_{n+1} = X_n + a(X_n)Δt + b(X_n)ΔW_n, avec ΔW_n = √Δt·Z_n. C'est l'analogue stochastique du schéma d'Euler déterministe.
Schéma de Milstein: X_{n+1} = X_n + aΔt + bΔW + (1/2)·b·b'·(ΔW² − Δt). Le terme supplémentaire, issu du développement d'Itô-Taylor, améliore la précision des trajectoires.
Convergence forte et faible: Forte : E|X_T − X_T^Δt| est de l'ordre de Δt^γ (trajectoires). Faible : |E[f(X_T)] − E[f(X_T^Δt)]| est de l'ordre de Δt^β (lois). Euler : γ = 1/2, β = 1. Milstein : γ = 1.
Cas exact du GBM: Pour dS = μS dt + σS dW, S_T = S_0·exp((μ − σ²/2)T + σW_T). Simuler ce schéma exact évite l'erreur de discrétisation.
Positivité: Pour dr = κ(θ − r)dt + σ√r dW (CIR), Euler peut donner des valeurs négatives. On applique par exemple r⁺ = max(r, 0) dans la diffusion et la dérive (troncature complète).

Conclusion

Discrétiser une EDS est un compromis entre précision, simplicité et coût. Euler-Maruyama suffit souvent pour estimer des espérances ; Milstein améliore les trajectoires quand la volatilité dépend de l'état.

Les tests de convergence en réduisant Δt et la comparaison à des solutions exactes restent des réflexes de validation indispensables.

Cartes

Quel est le schéma d'Euler-Maruyama ?: X_{n+1} = X_n + a·Δt + b·ΔW, où ΔW = √Δt·Z avec Z ~ N(0,1).
Quel terme distingue le schéma de Milstein ?: Le terme (1/2)·b·b'·(ΔW² − Δt), qui corrige la variation de la volatilité le long de la trajectoire.
Quel est l'ordre de convergence forte d'Euler-Maruyama ?: 1/2.
Quel est l'ordre de convergence faible d'Euler-Maruyama ?: 1.
Quand le terme de Milstein disparaît-il ?: Quand b est constant (b' = 0) : Milstein et Euler coïncident, par exemple pour le modèle de Vasicek.
Quelle est la solution exacte du GBM dS = μS dt + σS dW ?: S_T = S_0·exp((μ − σ²/2)T + σW_T).
Pourquoi utiliser la convergence faible pour valoriser un produit ?: Parce que seule l'espérance d'une fonction de X_T compte, pas l'exactitude de chaque trajectoire.
Quel problème pose Euler pour le modèle CIR ?: Le processus discrétisé peut devenir négatif, ce qui rend la racine carrée indéfinie.
Comment choisir le pas Δt ?: En testant la stabilité du résultat quand Δt diminue ; on arbitre entre précision et coût de calcul.

Glossaire

Mouvement brownien: Processus à accroissements indépendants et gaussiens, de variance égale à la durée.
Équation différentielle stochastique: Équation dX = a dt + b dW décrivant une dynamique perturbée par un bruit brownien.
Convergence forte: Précision mesurée sur les trajectoires, via l'erreur moyenne en valeur absolue.
Convergence faible: Précision mesurée sur les espérances de fonctions du processus.
Développement d'Itô-Taylor: Analogue stochastique du développement de Taylor, source des schémas d'ordre élevé.
Troncature complète: Méthode qui remplace par zéro les valeurs négatives dans la dérive et la diffusion d'un processus devant rester positif.