Modèle de Cairns-Blake-Dowd pour les âges élevés

Sciences actuarielles · Master 2

Modèle CBD : logit de q(x,t), facteurs de niveau et de pente, extensions avec effet de cohorte.

Introduction

Le modèle de Cairns, Blake et Dowd (2006) a été conçu pour la mortalité aux âges élevés, là où se concentre le risque de longévité des rentiers et des caisses de pensions. Il modélise le logit de la probabilité de décès q(x,t) comme une fonction linéaire de l'âge : logit q(x,t) = k1(t) + k2(t)(x − x̄), où x̄ est l'âge moyen de la plage étudiée.

Deux facteurs temporels pilotent la mortalité : k1(t) fixe le niveau général, k2(t) la pente par âge, c'est-à-dire la manière dont la mortalité croît avec l'âge. Le vecteur (k1, k2) est projeté comme une marche aléatoire bivariée avec dérive et corrélation. Par rapport à Lee-Carter, le modèle est plus parcimonieux aux âges élevés et permet de moduler la dépendance entre âges, mais il ne capte pas par défaut les effets de génération, d'où les extensions M6 et M7 qui ajoutent un terme de cohorte.

Objectifs d'apprentissage

Écrire l'équation du modèle CBD et interpréter k1 et k2
Estimer les facteurs par régression année par année
Projeter le vecteur (k1, k2) par une marche aléatoire bivariée
Expliquer l'intérêt d'un terme de cohorte (M6, M7)
Comparer CBD et Lee-Carter pour des rentiers âgés

Concepts clés

Structure du modèle: logit q(x,t) = ln[q/(1−q)] = k1(t) + k2(t)(x − x̄). L'ordonnée k1 donne le niveau de la mortalité, la pente k2 mesure la vitesse à laquelle elle augmente avec l'âge. Le modèle s'applique à une plage d'âges élevés, par exemple 60 à 89 ans.
Estimation: Pour chaque année t, une régression des logits observés sur l'âge fournit k1(t) et k2(t). On peut aussi maximiser une vraisemblance binomiale ou de Poisson sur les décès, mieux adaptée aux petits effectifs.
Projection: On modélise k(t) = (k1(t), k2(t)) comme k(t+1) = k(t) + μ + CZ, avec dérive μ et matrice de covariance CC′. La corrélation entre k1 et k2 compte : l'ignorer fausserait l'incertitude sur l'espérance de vie.
Extensions avec cohorte: M6 ajoute un terme γ(t−x) dépendant de l'année de naissance, M7 y ajoute en plus un terme quadratique en âge. Ces extensions capturent des générations dont l'amélioration de mortalité diffère, mais demandent des contraintes d'identification.

Conclusion

Le CBD offre un cadre léger et lisible pour projeter la mortalité des retraités. Ses deux facteurs, niveau et pente, se prêtent bien à la simulation de trajectoires et à la mesure du risque de longévité d'un portefeuille de rentes.

Pour des générations atypiques, une extension avec cohorte s'impose ; pour un usage réglementaire ou interne, la comparaison avec d'autres modèles reste de rigueur.

Cartes

Que modélise le CBD ?: Le logit de la probabilité de décès q(x,t) aux âges élevés, comme fonction linéaire de l'âge.
Que représente k1(t) dans le CBD ?: Le niveau général de la mortalité à l'année t.
Que représente k2(t) ?: La pente par âge : la vitesse à laquelle la mortalité augmente avec l'âge cette année-là.
Pourquoi centrer l'âge sur x̄ ?: Pour que k1 s'interprète comme le logit de q à l'âge moyen et pour limiter la corrélation entre k1 et k2 à l'estimation.
Combien de facteurs temporels contient le CBD de base ?: Deux : k1(t) et k2(t), projetés ensemble par un processus bivarié.
Pourquoi la corrélation entre k1 et k2 est-elle importante ?: Parce qu'elle conditionne la dispersion des projections d'espérance de vie ; l'ignorer sous-estime ou surestime l'incertitude.
Quel est l'apport des modèles M6 et M7 ?: Un terme de cohorte γ(t−x) qui capte l'effet de la génération, M7 ajoutant un terme quadratique en âge.
Quel avantage le CBD présente-t-il sur Lee-Carter pour des rentiers ?: Il est parcimonieux et ciblé sur les âges élevés, avec une structure par âge explicite plutôt qu'un b(x) libre par âge.
Quelle limite le CBD simple présente-t-il ?: Il ne reflète pas les effets de cohorte et n'est pas conçu pour les âges jeunes, où le logit n'est pas linéaire.

Glossaire

Logit: Transformation ln[q/(1−q)] qui envoie une probabilité de ]0,1[ sur toute la droite réelle.
Marche aléatoire avec dérive: Processus où chaque pas ajoute une dérive constante et un choc aléatoire.
Effet de cohorte: Écart de mortalité propre à une génération, indépendant de l'âge et de l'année calendaire.
Risque de tendance: Incertitude sur la direction future de la mortalité, répercutée sur tous les âges.
Plage d'âges d'ajustement: Intervalle d'âges sur lequel le modèle est estimé, souvent 60 à 90 ans pour le CBD.
Extrapolation aux grands âges: Prolongement des taux de mortalité au-delà des âges bien observés, par exemple via une loi paramétrique.