Incertitude et backtesting des projections de longévité

Sciences actuarielles · Master 2

Mesurer l'incertitude d'un modèle de mortalité : backtesting, intervalles et fan charts.

Introduction

Une projection de mortalité n'est jamais une valeur unique. Elle combine plusieurs sources d'incertitude : le risque de processus (les décès sont aléatoires même si le taux est connu), le risque de paramètres (les coefficients du modèle sont estimés avec erreur), la dérive future de la mortalité et le risque de modèle (le modèle choisi peut être inadéquat). Pour des horizons longs, les deux dernières sources dominent largement la première.

Pour juger la qualité d'un modèle, on ne se contente pas de son ajustement historique : on pratique un backtesting, qui consiste à estimer le modèle sur une période tronquée, à projeter sur les années déjà observées puis à comparer les projections aux observations. Les résultats s'expriment en intervalles de prédiction et en fan charts. Un modèle bien calibré a des intervalles à 90 % qui contiennent environ 90 % des observations réalisées.

Objectifs d'apprentissage

Distinguer risque de processus, de paramètres, de tendance et de modèle
Mettre en œuvre un backtesting par fenêtre glissante
Construire un intervalle de prédiction par simulation
Lire un fan chart et en tirer une conclusion sur la longévité
Comparer des modèles avec AIC, BIC et tests de résidus

Concepts clés

Sources d'incertitude: Risque de processus : variation aléatoire des décès pour un taux donné. Risque de paramètres : erreur d'estimation. Risque de tendance : direction future de la mortalité. Risque de modèle : mauvaise spécification. Sur 30 ans et plus, tendance et modèle l'emportent.
Backtesting: On tronque les données à une année T, on estime le modèle, on projette sur T+1,…,T+h et on compare aux taux observés. On répète pour plusieurs T. On mesure l'erreur par âge et par horizon, ce qui révèle un biais systématique.
Intervalles de prédiction: On simule N trajectoires du facteur temporel et des décès, ce qui donne des quantiles par âge et par année. L'intervalle ne doit pas se limiter à l'incertitude de la tendance : il faut aussi intégrer l'incertitude sur les paramètres, par exemple par bootstrap.
Choix de modèle: AIC et BIC pénalisent le nombre de paramètres, BIC plus fortement. On examine aussi les résidus, qui doivent être sans structure par âge, année et cohorte : une structure résiduelle signale un effet omis.

Conclusion

Un chiffre de longévité sans mesure d'incertitude est trompeur. Distinguer les sources de risque, tester sur le passé par backtesting et exprimer les résultats en intervalles permet de décider en connaissance de cause, par exemple sur le niveau de provisions ou la couverture du risque.

Ces pratiques font partie des attentes de gouvernance de tout modèle utilisé dans la prévoyance.

Cartes

Qu'est-ce que le risque de processus en mortalité ?: La variabilité aléatoire du nombre de décès même quand le taux de mortalité vrai est connu.
Quelle source d'incertitude domine à très long horizon ?: La tendance future et le risque de modèle, pas le risque de processus.
En quoi consiste un backtesting ?: Estimer le modèle sur une période tronquée, projeter sur les années déjà observées et comparer aux données.
Que signifie un intervalle de prédiction à 90 % bien calibré ?: Environ 90 % des valeurs observées tombent dans l'intervalle.
Que représente un fan chart ?: Un graphique de la médiane d'une projection et de bandes d'intervalles de plus en plus larges avec l'horizon.
Pourquoi le bootstrap est-il utile ici ?: Pour intégrer l'incertitude sur les paramètres estimés dans les trajectoires simulées.
Quelle différence entre AIC et BIC ?: Les deux pénalisent le nombre de paramètres ; le BIC pénalise davantage, particulièrement sur de grands échantillons.
Que révèle une structure dans les résidus d'un modèle de mortalité ?: Un effet omis, par exemple une cohorte ou une interaction âge-période non captée.
Pourquoi un bon ajustement historique ne suffit-il pas ?: Il peut résulter d'un surajustement et ne dit rien sur la capacité à prédire l'avenir.

Glossaire

Intervalle de prédiction: Plage de valeurs qui devrait contenir une observation future avec une probabilité donnée.
Fan chart: Graphique en éventail montrant une médiane et des bandes d'incertitude croissantes.
Backtesting: Évaluation d'un modèle sur des données passées non utilisées pour son estimation.
Risque de modèle: Risque que la forme choisie du modèle soit inadaptée à la réalité.
Résidus de déviance: Écarts normalisés entre décès observés et ajustés, utiles pour détecter une structure non expliquée.
Critère d'information: Mesure combinant ajustement et complexité pour comparer des modèles.