Monte Carlo et générateurs de scénarios économiques en assurance

Sciences actuarielles · Master 2

Simulation Monte Carlo pour valoriser un passif : erreur en 1/√N, antithétiques, risque neutre.

Introduction

Les engagements d'un assureur vie comportent des garanties et des participations aux excédents dont la valeur dépend de trajectoires de taux et de rendements. Faute de formule fermée, on les valorise par simulation Monte Carlo : un générateur de scénarios économiques produit des milliers de trajectoires de taux, d'actions et d'inflation, on calcule les flux du contrat dans chacune, puis on moyenne leurs valeurs actualisées.

Deux univers de probabilité coexistent. Sous probabilité risque neutre, le rendement attendu de tout actif est le taux sans risque : on l'emploie pour valoriser de façon cohérente avec le marché. Sous probabilité monde réel, qui intègre les primes de risque, on projette les résultats et le capital. L'erreur de simulation décroît en 1/√N, d'où l'intérêt des techniques de réduction de variance et des tests de martingale qui vérifient la cohérence du générateur.

Objectifs d'apprentissage

Distinguer simulation en risque neutre et en monde réel
Estimer une valeur par Monte Carlo et calculer son erreur-type
Appliquer la technique des variables antithétiques
Contrôler un générateur par un test de martingale
Identifier les limites du calcul imbriqué et les alternatives

Concepts clés

Principe de l'estimation: V ≈ (1/N) Σ Vi où Vi est la valeur actualisée des flux dans le scénario i. L'erreur-type vaut σ/√N : pour diviser l'erreur par 10, il faut 100 fois plus de scénarios.
Risque neutre et monde réel: En risque neutre, tous les actifs rapportent en moyenne le taux sans risque et l'actualisation se fait à ce taux, ce qui reproduit les prix de marché. Le monde réel intègre des primes de risque et sert aux projections de capital et de rentabilité.
Réduction de variance: Variables antithétiques : pour chaque tirage Z, on simule aussi −Z, ce qui réduit la variance quand le payoff est monotone. On peut aussi recourir à des variables de contrôle ou à des suites quasi-aléatoires.
Vérification du générateur: Test de martingale : le prix actualisé de chaque actif simulé doit avoir pour moyenne sa valeur initiale, à l'erreur statistique près. Un écart systématique indique une erreur de calibrage ou de discrétisation.

Conclusion

Monte Carlo est l'outil standard pour valoriser des garanties complexes, mais sa fiabilité repose sur un générateur calibré, des tests de cohérence et une maîtrise de l'erreur de simulation.

Il faut distinguer valorisation (risque neutre) et projection (monde réel) pour éviter des contresens méthodologiques.

Cartes

Comment décroît l'erreur d'une simulation Monte Carlo ?: Comme 1/√N, où N est le nombre de scénarios.
Combien de scénarios supplémentaires faut-il pour diviser l'erreur par 2 ?: Quatre fois plus : N devient 4N.
Quel taux d'actualisation utilise-t-on en risque neutre ?: Le taux sans risque simulé le long de chaque trajectoire.
À quoi sert la probabilité monde réel ?: À projeter les résultats, le capital et les risques avec des rendements incluant des primes de risque.
Qu'est-ce qu'une variable antithétique ?: Pour un tirage Z, la trajectoire construite avec −Z, utilisée pour réduire la variance de l'estimateur.
Que vérifie un test de martingale ?: Que la valeur actualisée simulée d'un actif a bien pour espérance son prix initial.
Quel est le problème du calcul imbriqué (nested) ?: Un coût de calcul considérable : des simulations internes de valorisation à l'intérieur de chaque scénario externe de risque.
Quelle alternative réduit le coût du calcul imbriqué ?: La régression sur échantillon de scénarios (Least Squares Monte Carlo) ou les fonctions de remplacement.
Pourquoi fixer une graine du générateur aléatoire ?: Pour reproduire les résultats et auditer le calcul.

Glossaire

Générateur de scénarios économiques: Modèle produisant des trajectoires simulées de taux, d'actions, d'inflation et d'autres variables financières.
Erreur-type: Écart-type de l'estimateur Monte Carlo, égal à σ/√N.
Mesure risque neutre: Mesure de probabilité sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales.
Variable de contrôle: Quantité corrélée dont l'espérance est connue, utilisée pour réduire la variance de l'estimateur.
Discrétisation: Approximation d'un processus continu par des pas de temps discrets.
Calibrage: Ajustement des paramètres du générateur aux prix de marché ou aux données historiques.