# Grecques et couverture dynamique d'une garantie d'assurance Sciences actuarielles · Master 1 > Delta, gamma, vega : couvrir dynamiquement une garantie financière d'un contrat vie. ## Introduction Un assureur qui garantit à l'échéance un capital minimum sur un contrat lié à un fonds d'investissement vend implicitement une option de vente. Pour neutraliser ce risque, il peut la couvrir dynamiquement en détenant une position en sous-jacent ajustée au fil du temps. Les grecques mesurent la sensibilité de la valeur de la garantie aux paramètres de marché : delta par rapport au prix du sous-jacent, gamma pour la variation du delta, vega par rapport à la volatilité, rho par rapport au taux d'intérêt et thêta par rapport au passage du temps. La couverture delta rend le portefeuille insensible aux petits mouvements du sous-jacent, mais le delta change avec le marché : le portefeuille doit être rééquilibré. Le gamma indique l'ampleur de ce besoin, et le vega mesure l'exposition à la volatilité, que le delta ne couvre pas. En pratique, la couverture laisse un résidu dû aux rééquilibrages discrets, aux coûts de transaction et au risque de modèle. ## Objectifs d'apprentissage - Définir les principales grecques et leur signe pour une option d'achat et de vente - Construire une couverture delta et la rééquilibrer - Expliquer l'effet du gamma et du vega sur le résultat de la couverture - Estimer le coût attendu d'une couverture dynamique - Identifier les risques résiduels (base, modèle, rééquilibrage) ## Concepts clés - **Les grecques** : Delta : ∂V/∂S. Gamma : ∂²V/∂S². Vega : ∂V/∂σ. Rho : ∂V/∂r. Thêta : ∂V/∂t. Pour une option de vente achetée, le delta est négatif ; pour une garantie vendue par l'assureur, l'exposition est celle d'un vendeur de put. - **Couverture delta** : Pour chaque option vendue, on détient Δ unités de sous-jacent (Δ de l'option, négatif pour un put : la couverture est alors une position vendeuse) afin d'annuler la sensibilité de premier ordre. Comme Δ varie, on rééquilibre à intervalles réguliers ; un rééquilibrage plus fréquent réduit l'erreur mais augmente les coûts de transaction. - **Rôle du gamma et du vega** : Un gamma élevé signifie que le delta change vite : la couverture delta se déséquilibre et demande des ajustements fréquents. Le vega mesure le risque de volatilité, qui ne se couvre qu'avec d'autres options ou des produits de volatilité. - **Coût et risques résiduels** : Dans le modèle de Black-Scholes, le coût de la couverture parfaite égale le prix de l'option. En pratique, les rééquilibrages discrets, la volatilité réelle différente de celle du modèle, les coûts et la liquidité créent un écart dont la distribution s'estime par simulation. ## Conclusion Les grecques traduisent un risque financier complexe en sensibilités gérables. La couverture dynamique réduit l'exposition d'une garantie, sans l'éliminer : coûts, volatilité et risque de modèle demeurent. L'actuaire doit pouvoir quantifier ce résidu et le relier au capital et à la gouvernance des risques. ## Cartes ### Que mesure le delta ? La variation de la valeur de la garantie pour une petite variation du prix du sous-jacent. ### Que mesure le gamma ? La vitesse de variation du delta, soit la convexité de la valeur par rapport au sous-jacent. ### Que mesure le vega ? La sensibilité de la valeur à la volatilité du sous-jacent. ### Pourquoi rééquilibre-t-on une couverture delta ? Parce que le delta évolue avec le prix du sous-jacent et le temps. ### Quel est l'effet d'un rééquilibrage plus fréquent ? Une erreur de couverture plus faible, mais des coûts de transaction plus élevés. ### Une couverture delta couvre-t-elle le risque de volatilité ? Non : il faut agir sur le vega, par exemple avec des options. ### Que signifie un gamma élevé pour la couverture ? Un delta qui bouge vite, donc un besoin d'ajustements fréquents et un risque plus marqué en cas de mouvements importants. ### Quel est le coût de couverture d'une garantie dans le monde de Black-Scholes ? Le prix de l'option correspondante, sous hypothèses idéales (couverture continue, sans frais). ### Quels risques subsistent malgré la couverture ? Risque de modèle, de base, de rééquilibrage discret, de liquidité et de volatilité. ## Glossaire - **Delta** : Dérivée de la valeur par rapport au prix du sous-jacent ; nombre d'unités de sous-jacent de la couverture. - **Gamma** : Dérivée seconde de la valeur par rapport au sous-jacent. - **Vega** : Sensibilité de la valeur à la volatilité. - **Rééquilibrage** : Ajustement périodique de la position de couverture pour suivre le delta. - **Garantie de capital** : Engagement de verser au moins un capital minimum à l'échéance, indépendamment de l'évolution du fonds. - **Risque de modèle** : Risque que le modèle utilisé pour calculer prix et grecques diffère de la dynamique réelle du marché. https://ruvy.ch/decks/-P5CwT_o04XAnE2MFzJy