Courbe des taux : bootstrapping, Nelson-Siegel et extrapolation

Sciences actuarielles · Master 1

Construire et extrapoler la courbe des taux : zéro-coupon, Nelson-Siegel-Svensson et taux ultime.

Introduction

Actualiser un flux à 30 ans suppose de connaître le taux d'intérêt correspondant à cette échéance. La courbe des taux associe à chaque maturité un taux zéro-coupon ; on en déduit les facteurs d'actualisation P(0,T) = exp(−r(T)·T). Elle n'est observée qu'en quelques points (obligations, swaps), d'où la nécessité de l'interpoler et, pour les engagements très longs d'assurance, de l'extrapoler.

Le bootstrapping déduit successivement les taux zéro-coupon des prix de titres de maturités croissantes. Le modèle de Nelson-Siegel, enrichi par Svensson, ajuste une forme paramétrique lisse avec des composantes de niveau, de pente et de courbure. Au-delà de la dernière échéance liquide, les régulateurs ont recours à une extrapolation vers un taux ultime, par exemple par la méthode de Smith-Wilson. Le choix de la courbe influence directement la valeur des provisions : un point de base de plus ou de moins sur 30 ans a un effet sensible sur des engagements de longue durée.

Objectifs d'apprentissage

Passer des taux zéro-coupon aux facteurs d'actualisation et aux taux à terme
Expliquer le bootstrapping d'une courbe
Interpréter les paramètres de Nelson-Siegel
Comprendre le rôle d'un taux ultime et d'une extrapolation
Mesurer la sensibilité d'un passif aux déplacements de la courbe

Concepts clés

Taux zéro-coupon et actualisation: Le taux zéro-coupon r(T) est le rendement d'un flux unique à l'échéance T. Le facteur d'actualisation vaut P(0,T) = exp(−r(T)T) en capitalisation continue. Le taux à terme entre T1 et T2 se déduit de P(0,T1) et P(0,T2).
Bootstrapping: On part de l'instrument le plus court puis, à chaque maturité, on résout l'équation du prix pour le nouveau facteur d'actualisation en utilisant les facteurs déjà trouvés. La méthode reproduit exactement les prix d'entrée mais requiert une interpolation entre maturités.
Nelson-Siegel-Svensson: r(T) = β0 + β1·f1(T/τ) + β2·f2(T/τ) (+ terme de Svensson). β0 est le niveau de long terme, β1 la pente, β2 la courbure ; τ règle la position de la bosse. Le modèle est parcimonieux et lisse, mais n'ajuste pas exactement tous les prix.
Extrapolation et taux ultime: Au-delà du dernier point liquide, la courbe converge vers un taux à terme ultime. La méthode de Smith-Wilson reproduit les prix de marché observés puis converge à une vitesse réglable vers ce taux. Le choix de ce taux et de la vitesse de convergence est une décision de gouvernance qui change la valeur des engagements.

Conclusion

La courbe des taux est le pont entre marché financier et engagements d'assurance. Savoir la construire, la lisser et l'extrapoler, et en mesurer l'effet sur la valeur des provisions, est une compétence centrale de l'actuaire.

Les choix d'extrapolation et de taux ultime sont des décisions de gouvernance, à documenter et à tester en sensibilité.

Cartes

Que donne le taux zéro-coupon r(T) ?: Le rendement annuel d'un flux unique versé à l'échéance T.
Comment calculer un facteur d'actualisation en capitalisation continue ?: P(0,T) = exp(−r(T)·T).
À quoi sert le taux à terme ?: À représenter le taux attendu entre deux dates futures, déduit de la courbe actuelle.
Quel est le principe du bootstrapping ?: Déduire successivement les facteurs d'actualisation à partir d'instruments de maturités croissantes.
Que représente β0 dans Nelson-Siegel ?: Le niveau de long terme de la courbe.
Que capte β2 ?: La courbure : la bosse ou le creux de la courbe à moyen terme.
Pourquoi extrapoler la courbe pour un assureur ?: Parce que ses engagements dépassent la maturité des instruments liquides.
Que fait la méthode de Smith-Wilson ?: Elle reproduit les prix observés puis converge vers un taux à terme ultime à une vitesse réglable.
Pourquoi le choix du taux ultime est-il sensible ?: Il influence fortement la valeur actuelle des engagements de très longue durée.

Glossaire

Facteur d'actualisation: Valeur actuelle d'une unité monétaire payée à l'échéance T.
Taux à terme: Taux d'intérêt implicite entre deux dates futures, déduit des facteurs d'actualisation.
Pente de la courbe: Écart entre taux longs et courts ; une pente négative est dite courbe inversée.
Taux ultime: Taux à terme vers lequel la courbe est extrapolée pour les très longues échéances.
Duration: Sensibilité de la valeur d'un flux ou d'un portefeuille à un petit déplacement parallèle de la courbe.
Interpolation: Estimation de taux entre deux maturités observées.