# GLM : surdispersion, quasi-Poisson et binomiale négative Sciences actuarielles · Master 1 > Détecter et traiter la surdispersion des nombres de sinistres dans un GLM. ## Introduction La loi de Poisson impose que la variance soit égale à la moyenne. Les données d'assurance contredisent souvent cette hypothèse : à caractéristiques observables identiques, certains assurés sont beaucoup plus risqués que d'autres, pour des raisons que le tarif ne capte pas. La variance observée dépasse alors la moyenne : c'est la surdispersion. La conséquence pratique est sérieuse : les coefficients restent peu biaisés, mais les écarts-types sont sous-estimés, et des variables sans effet réel paraissent significatives. On y répond de deux manières : corriger les écarts-types avec un paramètre de dispersion (quasi-Poisson) ou choisir une loi plus souple comme la binomiale négative, qui est un mélange Poisson-Gamma et qui possède un paramètre de dispersion supplémentaire. Le mélange Poisson-Gamma est lié à la crédibilité bayésienne : l'hétérogénéité non observée entre assurés justifie un système de bonus-malus. Une autre source d'écart est l'excès de zéros, quand la proportion d'assurés sans sinistre dépasse ce que prévoit la loi de Poisson. ## Objectifs d'apprentissage - Diagnostiquer la surdispersion avec le rapport de Pearson - Expliquer pourquoi elle fausse les tests de significativité - Comparer quasi-Poisson et binomiale négative - Reconnaître un excès de zéros et les modèles adaptés - Relier hétérogénéité non observée et crédibilité ## Concepts clés - **Diagnostic de surdispersion** : On calcule φ̂ = χ²Pearson / (n - p), où n - p est le nombre de degrés de liberté résiduels. Une valeur proche de 1 est compatible avec Poisson. Une valeur nettement supérieure à 1 signale une surdispersion. - **Conséquences** : Les estimations ponctuelles du modèle de Poisson restent cohérentes tant que l'espérance est bien spécifiée, mais les erreurs-types sont trop faibles. Les intervalles de confiance sont trop étroits et les tests trop généreux : on retient des variables qui n'apportent rien. - **Quasi-Poisson** : On garde la forme de l'espérance mais on impose Var = φμ. Les erreurs-types sont multipliées par √φ̂. C'est une correction simple, mais ce n'est pas un modèle de probabilité complet : il n'y a pas de vraisemblance, donc pas d'AIC. - **Binomiale négative** : Si λ est lui-même aléatoire, de loi Gamma, le nombre de sinistres suit une loi binomiale négative, avec Var = μ + μ²/k. La variance croît plus vite que la moyenne. Ce modèle est une vraie loi : on dispose de la vraisemblance et de l'AIC. - **Excès de zéros** : Quand beaucoup d'assurés ne déclarent jamais de sinistre, les modèles à inflation de zéros mélangent une masse en zéro et une loi de comptage. Ils sont utiles en assurance des petits risques, mais l'interprétation doit rester prudente. ## Conclusion La surdispersion est la règle plutôt que l'exception en assurance. Ignorer le problème conduit à des tarifs trop segmentés sur des effets illusoires. Le diagnostic de Pearson, puis un modèle quasi-Poisson ou binomiale négative, protège contre ces conclusions trop confiantes. ## Cartes ### Que signifie la surdispersion ? La variance observée dépasse la moyenne, alors que Poisson impose Var = μ. ### Quel est le diagnostic usuel de surdispersion ? Le rapport χ² de Pearson / degrés de liberté résiduels, nettement supérieur à 1. ### Quelle est la conséquence de la surdispersion sur les tests ? Les erreurs-types sont sous-estimées : les variables paraissent trop souvent significatives. ### Comment le quasi-Poisson corrige-t-il le problème ? Il multiplie les erreurs-types par √φ̂, avec Var = φμ. ### Quel avantage la binomiale négative a-t-elle sur le quasi-Poisson ? C'est une vraie loi de probabilité : vraisemblance et AIC disponibles. ### Quelle est la variance de la binomiale négative ? Var = μ + μ²/k, supérieure à la moyenne. ### D'où vient la binomiale négative comme mélange ? D'un mélange de Poisson dont le paramètre suit une loi Gamma. ### Quel lien avec le bonus-malus ? L'hétérogénéité non observée justifie d'ajuster la prime à l'historique de sinistres (crédibilité). ### Qu'est-ce qu'un excès de zéros ? Une proportion d'assurés sans sinistre supérieure à ce que prévoit la loi de comptage. ### Les coefficients du Poisson sont-ils faussés par la surdispersion ? Peu : ce sont surtout les écarts-types qui sont erronés, si l'espérance est bien spécifiée. ## Glossaire - **Surdispersion** : Variance d'un nombre de sinistres supérieure à sa moyenne. - **Statistique de Pearson** : Somme des carrés des résidus de Pearson, utilisée pour estimer la dispersion. - **Quasi-Poisson** : Modèle de comptage qui garde la moyenne de Poisson mais ajuste la variance par un facteur φ. - **Binomiale négative** : Loi de comptage issue d'un mélange Poisson-Gamma, adaptée à la surdispersion. - **Hétérogénéité non observée** : Différences de risque entre assurés qui ne sont pas capturées par les variables du tarif. - **Inflation de zéros** : Modèle combinant une masse en zéro et une loi de comptage pour traiter un excès d'assurés sans sinistre. https://ruvy.ch/decks/-P5Cstz-j3K9lo3Hf7Ps