GLM : surdispersion, quasi-Poisson et binomiale négative

Sciences actuarielles · Master 1

Détecter et traiter la surdispersion des nombres de sinistres dans un GLM.

Introduction

La loi de Poisson impose que la variance soit égale à la moyenne. Les données d'assurance contredisent souvent cette hypothèse : à caractéristiques observables identiques, certains assurés sont beaucoup plus risqués que d'autres, pour des raisons que le tarif ne capte pas. La variance observée dépasse alors la moyenne : c'est la surdispersion.

La conséquence pratique est sérieuse : les coefficients restent peu biaisés, mais les écarts-types sont sous-estimés, et des variables sans effet réel paraissent significatives. On y répond de deux manières : corriger les écarts-types avec un paramètre de dispersion (quasi-Poisson) ou choisir une loi plus souple comme la binomiale négative, qui est un mélange Poisson-Gamma et qui possède un paramètre de dispersion supplémentaire.

Le mélange Poisson-Gamma est lié à la crédibilité bayésienne : l'hétérogénéité non observée entre assurés justifie un système de bonus-malus. Une autre source d'écart est l'excès de zéros, quand la proportion d'assurés sans sinistre dépasse ce que prévoit la loi de Poisson.

Objectifs d'apprentissage

Diagnostiquer la surdispersion avec le rapport de Pearson
Expliquer pourquoi elle fausse les tests de significativité
Comparer quasi-Poisson et binomiale négative
Reconnaître un excès de zéros et les modèles adaptés
Relier hétérogénéité non observée et crédibilité

Concepts clés

Diagnostic de surdispersion: On calcule φ̂ = χ²Pearson / (n - p), où n - p est le nombre de degrés de liberté résiduels. Une valeur proche de 1 est compatible avec Poisson. Une valeur nettement supérieure à 1 signale une surdispersion.
Conséquences: Les estimations ponctuelles du modèle de Poisson restent cohérentes tant que l'espérance est bien spécifiée, mais les erreurs-types sont trop faibles. Les intervalles de confiance sont trop étroits et les tests trop généreux : on retient des variables qui n'apportent rien.
Quasi-Poisson: On garde la forme de l'espérance mais on impose Var = φμ. Les erreurs-types sont multipliées par √φ̂. C'est une correction simple, mais ce n'est pas un modèle de probabilité complet : il n'y a pas de vraisemblance, donc pas d'AIC.
Binomiale négative: Si λ est lui-même aléatoire, de loi Gamma, le nombre de sinistres suit une loi binomiale négative, avec Var = μ + μ²/k. La variance croît plus vite que la moyenne. Ce modèle est une vraie loi : on dispose de la vraisemblance et de l'AIC.
Excès de zéros: Quand beaucoup d'assurés ne déclarent jamais de sinistre, les modèles à inflation de zéros mélangent une masse en zéro et une loi de comptage. Ils sont utiles en assurance des petits risques, mais l'interprétation doit rester prudente.

Conclusion

La surdispersion est la règle plutôt que l'exception en assurance. Ignorer le problème conduit à des tarifs trop segmentés sur des effets illusoires.

Le diagnostic de Pearson, puis un modèle quasi-Poisson ou binomiale négative, protège contre ces conclusions trop confiantes.

Cartes

Que signifie la surdispersion ?: La variance observée dépasse la moyenne, alors que Poisson impose Var = μ.
Quel est le diagnostic usuel de surdispersion ?: Le rapport χ² de Pearson / degrés de liberté résiduels, nettement supérieur à 1.
Quelle est la conséquence de la surdispersion sur les tests ?: Les erreurs-types sont sous-estimées : les variables paraissent trop souvent significatives.
Comment le quasi-Poisson corrige-t-il le problème ?: Il multiplie les erreurs-types par √φ̂, avec Var = φμ.
Quel avantage la binomiale négative a-t-elle sur le quasi-Poisson ?: C'est une vraie loi de probabilité : vraisemblance et AIC disponibles.
Quelle est la variance de la binomiale négative ?: Var = μ + μ²/k, supérieure à la moyenne.
D'où vient la binomiale négative comme mélange ?: D'un mélange de Poisson dont le paramètre suit une loi Gamma.
Quel lien avec le bonus-malus ?: L'hétérogénéité non observée justifie d'ajuster la prime à l'historique de sinistres (crédibilité).
Qu'est-ce qu'un excès de zéros ?: Une proportion d'assurés sans sinistre supérieure à ce que prévoit la loi de comptage.
Les coefficients du Poisson sont-ils faussés par la surdispersion ?: Peu : ce sont surtout les écarts-types qui sont erronés, si l'espérance est bien spécifiée.

Glossaire

Surdispersion: Variance d'un nombre de sinistres supérieure à sa moyenne.
Statistique de Pearson: Somme des carrés des résidus de Pearson, utilisée pour estimer la dispersion.
Quasi-Poisson: Modèle de comptage qui garde la moyenne de Poisson mais ajuste la variance par un facteur φ.
Binomiale négative: Loi de comptage issue d'un mélange Poisson-Gamma, adaptée à la surdispersion.
Hétérogénéité non observée: Différences de risque entre assurés qui ne sont pas capturées par les variables du tarif.
Inflation de zéros: Modèle combinant une masse en zéro et une loi de comptage pour traiter un excès d'assurés sans sinistre.