GLM de tarification : sélection, validation, lift et Gini

Sciences actuarielles · Master 2

Choisir les variables d'un GLM tarifaire et valider son pouvoir de discrimination.

Introduction

Ajuster un GLM n'est que la moitié du travail. L'autre moitié consiste à décider quelles variables garder, comment regrouper leurs modalités et si le modèle prédit réellement mieux que l'ancien tarif sur de nouvelles données. Un modèle trop riche épouse le bruit de l'échantillon (surapprentissage) et se dégrade en production.

Pour la sélection, on compare des modèles imbriqués avec le test du rapport de vraisemblance, fondé sur la baisse de déviance, ou des modèles quelconques avec des critères pénalisés comme l'AIC (2k - 2 ln L) et le BIC. Les interactions (par exemple âge × type de véhicule) ne sont ajoutées que si elles améliorent sensiblement le modèle et ont un sens métier.

Pour la validation, on évalue sur un échantillon de test non utilisé à l'ajustement. La courbe de lift trie les contrats par prime prédite, les regroupe en déciles et compare sinistralité observée et prédite : un bon modèle donne des courbes ordonnées et proches. L'indice de Gini résume le pouvoir de discrimination. Le double lift compare deux tarifs entre eux. Enfin, la revue métier vérifie que les coefficients sont plausibles, stables et conformes au cadre juridique.

Objectifs d'apprentissage

Comparer des modèles par rapport de vraisemblance et AIC
Reconnaître le surapprentissage et en limiter le risque
Construire et lire une courbe de lift par déciles
Expliquer l'indice de Gini et ses limites
Utiliser un double lift pour comparer deux tarifs

Concepts clés

Test du rapport de vraisemblance: Pour deux modèles imbriqués, la baisse de déviance ΔD suit approximativement une loi du χ² avec autant de degrés de liberté que de paramètres ajoutés (pour une dispersion connue ou en poisson). Si ΔD dépasse le seuil, les paramètres ajoutés apportent une information significative.
AIC et BIC: AIC = 2k - 2 ln L, où k est le nombre de paramètres : on retient le plus faible. Le BIC pénalise davantage la complexité (k ln n). Ces critères s'appliquent à des modèles à vraisemblance complète, ce qui exclut le quasi-Poisson.
Surapprentissage et validation: Plus un modèle a de paramètres, plus il colle à l'échantillon d'ajustement. On garde un échantillon de test ou on utilise la validation croisée pour mesurer la performance hors échantillon. Une grande différence entre performance d'apprentissage et de test est un signal d'alerte.
Courbe de lift et Gini: On trie les contrats par prime prédite, on forme des déciles, puis on compare sinistralité observée et prédite par décile. Plus la sinistralité observée augmente fortement du premier au dernier décile, mieux le modèle discrimine. Le Gini mesure cette discrimination par l'aire entre la courbe de Lorenz et la diagonale.
Double lift et revue métier: Le double lift trie les contrats selon le rapport entre le nouveau tarif et l'ancien, puis regarde lequel suit mieux la sinistralité observée. La revue métier contrôle la cohérence : signe des coefficients, stabilité dans le temps, absence de variable interdite ou discriminatoire au regard du droit.

Conclusion

Sélectionner et valider sont aussi importants que d'ajuster. Test de vraisemblance, AIC et validation hors échantillon se complètent.

Un tarif fiable est interprétable, stable dans le temps, discriminant sur des données nouvelles et compatible avec le droit.

Cartes

À quoi sert le test du rapport de vraisemblance ?: À comparer deux modèles imbriqués grâce à la baisse de déviance, comparée à un χ².
Donnez la formule de l'AIC.: AIC = 2k - 2 ln L, avec k le nombre de paramètres et L la vraisemblance maximisée.
Quelle différence entre AIC et BIC ?: Le BIC pénalise plus fortement la complexité (k ln n au lieu de 2k).
Qu'est-ce que le surapprentissage ?: Un modèle trop flexible qui reproduit le bruit de l'échantillon et prédit mal sur de nouvelles données.
Pourquoi un échantillon de test est-il nécessaire ?: Il mesure la performance hors échantillon sur des données non utilisées à l'ajustement.
Comment construit-on une courbe de lift ?: Tri par prime prédite, regroupement en déciles, comparaison de la sinistralité observée et prédite.
Que mesure l'indice de Gini en tarification ?: Le pouvoir de discrimination du modèle : sa capacité à classer les risques du moins au plus risqué.
Que compare un double lift ?: Deux tarifs, en triant par rapport entre nouvelle et ancienne prime et en regardant lequel suit mieux la sinistralité.
Quand ajouter une interaction dans un GLM ?: Si elle améliore nettement le modèle et a un sens métier, sinon on risque de surajuster.
Pourquoi la revue métier reste-t-elle indispensable ?: Les statistiques ne détectent pas toujours les coefficients absurdes ou les variables qui posent problème juridique ou éthique.

Glossaire

Modèles imbriqués: Modèles dont l'un est un cas particulier de l'autre, obtenu en fixant des paramètres à zéro.
AIC: Critère d'information de type 2k - 2 ln L pour comparer des modèles en pénalisant la complexité.
Surapprentissage: Excès d'ajustement aux particularités de l'échantillon, qui dégrade la prédiction hors échantillon.
Courbe de lift: Graphique comparant sinistralité observée et prédite par groupes de contrats triés par risque prédit.
Indice de Gini: Mesure du pouvoir de discrimination d'un modèle, dérivée de la courbe de Lorenz.
Double lift: Comparaison de deux tarifs par tri selon le rapport de leurs primes.