# GLM : famille exponentielle, fonctions de lien et déviance Sciences actuarielles · Master 1 > Cadre théorique des GLM: famille exponentielle, lien canonique, IRLS, déviance. ## Introduction Un modèle linéaire généralisé (GLM) étend la régression linéaire à des variables de réponse non gaussiennes comme un nombre de sinistres ou un coût strictement positif. Il comporte trois composantes : une loi de la famille exponentielle pour la réponse, un prédicteur linéaire η = Xβ, et une fonction de lien g qui relie l'espérance μ au prédicteur : g(μ) = η. La famille exponentielle regroupe les lois normale, de Poisson, binomiale, Gamma et gaussienne inverse. Elle partage une forme commune de la vraisemblance, avec un paramètre de dispersion φ et une fonction de variance V(μ) qui décrit comment la variance dépend de la moyenne : V = 1 pour la normale, μ pour Poisson, μ² pour Gamma. Cette fonction de variance guide le choix de la loi. Les coefficients sont estimés par maximum de vraisemblance, en pratique par moindres carrés pondérés itérés (IRLS). La déviance, mesure de l'écart entre le modèle ajusté et le modèle saturé, remplace la somme des carrés des résidus pour juger la qualité d'ajustement et comparer des modèles. ## Objectifs d'apprentissage - Décrire les trois composantes d'un GLM - Associer chaque loi à sa fonction de variance et à son lien usuel - Expliquer le principe de l'estimation par IRLS - Interpréter la déviance et la déviance résiduelle - Situer la loi de Tweedie parmi les lois d'assurance ## Concepts clés - **Trois composantes** : Composante aléatoire : Y suit une loi de la famille exponentielle. Composante systématique : prédicteur linéaire η. Lien : g(μ) = η. Contrairement à la régression linéaire, la variance n'est pas constante et dépend de la moyenne. - **Fonction de variance** : V(μ) caractérise la loi : Normale V=1, Poisson V=μ, Gamma V=μ², gaussienne inverse V=μ³. Pour une réponse positive dont l'écart-type est proportionnel à la moyenne (coûts de sinistres), la loi Gamma est naturelle, car Var = φμ². - **Lien canonique** : Chaque loi a un lien canonique : identité pour la normale, logarithme pour Poisson, logit pour la binomiale, inverse pour Gamma. En tarification, on utilise souvent le lien log même pour la loi Gamma, car il donne un modèle multiplicatif et garantit une moyenne positive. - **Estimation par IRLS** : Les coefficients maximisent la vraisemblance. L'algorithme des moindres carrés pondérés itérés résout à chaque étape une régression pondérée sur une réponse de travail, jusqu'à convergence. Les écarts-types viennent de l'inverse de la matrice d'information de Fisher. - **Déviance et Tweedie** : La déviance D = 2[l(saturé) - l(modèle)] généralise la somme des carrés. Une grande baisse de déviance justifie une variable de plus. La loi de Tweedie, avec V = μ^p et 1 < p < 2, est une loi composée Poisson-Gamma qui peut modéliser directement la charge totale, avec une masse en zéro. ## Conclusion Les GLM reposent sur trois piliers : une loi de la famille exponentielle, un lien et un prédicteur linéaire. La fonction de variance relie le choix de la loi à la nature des données. La déviance permet de juger l'ajustement et de comparer les modèles imbriqués : c'est l'outil de base de la sélection des variables. ## Cartes ### Quelles sont les trois composantes d'un GLM ? Loi de la famille exponentielle, prédicteur linéaire η = Xβ et fonction de lien g(μ) = η. ### Quelle est la fonction de variance de la loi de Poisson ? V(μ) = μ. ### Quelle est la fonction de variance de la loi Gamma ? V(μ) = μ², donc l'écart-type est proportionnel à la moyenne. ### Quel est le lien canonique de la loi de Poisson ? Le logarithme. ### Pourquoi utilise-t-on souvent le lien log pour la loi Gamma ? Il garantit une moyenne positive et conduit à un tarif multiplicatif, même si le lien canonique est l'inverse. ### Que signifie IRLS ? Iteratively Reweighted Least Squares : moindres carrés pondérés itérés, algorithme standard pour estimer un GLM. ### Qu'est-ce que la déviance ? Deux fois l'écart de log-vraisemblance entre le modèle saturé et le modèle ajusté. ### Pourquoi la régression linéaire classique convient-elle mal aux sinistres ? La réponse n'est pas gaussienne, la variance dépend de la moyenne et les prédictions peuvent être négatives. ### Que modélise la loi de Tweedie avec 1 < p < 2 ? Une charge totale composée Poisson-Gamma, avec une masse de probabilité en zéro. ### Que fournit la matrice d'information de Fisher ? Les variances estimées des coefficients, donc les écarts-types et les intervalles de confiance. ## Glossaire - **Fonction de lien** : Fonction g qui relie l'espérance de la réponse au prédicteur linéaire. - **Famille exponentielle** : Classe de lois partageant une même forme de densité, incluant normale, Poisson, binomiale et Gamma. - **Fonction de variance** : Relation entre la variance de la réponse et sa moyenne, V(μ). - **Déviance** : Mesure de l'écart entre le modèle ajusté et le modèle saturé fondée sur la vraisemblance. - **IRLS** : Algorithme itératif d'estimation d'un GLM par régressions pondérées successives. - **Loi de Tweedie** : Famille de lois de variance μ^p, dont le cas 1