Courbes d'excédance (EP), AAL et période de retour

Sciences actuarielles · Master 1

Mesurer le risque cat : perte annuelle moyenne, courbes OEP et AEP, période de retour.

Introduction

Un modèle de catastrophe produit un grand nombre d'années simulées, chacune avec ses événements et ses pertes. Pour que ces résultats servent à la tarification, au capital et à la réassurance, on les résume en quelques mesures.

La perte annuelle moyenne (AAL, average annual loss) est l'espérance de la perte sur un an : elle fournit la prime pure cat. Les courbes d'excédance donnent, pour chaque montant, la probabilité annuelle de le dépasser. On distingue la courbe OEP (occurrence), fondée sur le plus grand événement de l'année, et la courbe AEP (agrégée), fondée sur la somme des pertes de l'année. La période de retour est l'inverse de la probabilité d'excédance : une perte de période de retour 200 ans a 0,5 % de chance d'être dépassée chaque année.

Ces notions sont au coeur des exigences de capital de la surveillance des assureurs suisses, où l'on raisonne en probabilité annuelle de perte extrême, et du choix des couvertures de réassurance.

Objectifs d'apprentissage

Calculer une AAL à partir d'une table d'événements
Distinguer les courbes OEP et AEP et leurs usages
Convertir période de retour et probabilité annuelle d'excédance
Interpréter une perte pour un seuil de probabilité donné
Relier ces mesures à la tarification, au capital et à la réassurance

Concepts clés

Perte annuelle moyenne (AAL): AAL = somme des fréquences annuelles λi multipliées par les pertes Li des événements. C'est la prime pure du risque catastrophe, avant chargements pour frais et incertitude. Elle est insuffisante seule car elle ne dit rien de la volatilité.
Courbe OEP: La courbe d'excédance par occurrence donne la probabilité que le plus grand événement d'une année dépasse un montant donné. Elle sert à dimensionner les couvertures par événement, comme les excédents de sinistre par événement.
Courbe AEP: La courbe d'excédance agrégée donne la probabilité que la somme des pertes de l'année dépasse un montant. Elle est toujours au moins égale à l'OEP, car elle cumule plusieurs événements, et sert aux couvertures annuelles agrégées et aux besoins en capital.
Période de retour: Si p est la probabilité annuelle d'excédance, la période de retour est 1/p. Un événement de période de retour 100 ans n'arrive pas une fois par siècle exactement : il a 1 % de probabilité chaque année, indépendamment du passé.
Mesures de queue: À côté de la valeur à un seuil (VaR), on utilise la perte moyenne au-delà de ce seuil (TVaR), qui capte la gravité des cas extrêmes. Les seuils choisis dépendent de l'usage : réassurance, capital réglementaire, notation.

Conclusion

AAL, OEP, AEP et période de retour sont le vocabulaire commun entre modélisateurs, assureurs, réassureurs et surveillants. Chaque mesure répond à une question précise.

L'AEP sert au capital, l'OEP aux couvertures par événement, l'AAL à la prime pure. Ne jamais les confondre.

Cartes

Définissez l'AAL.: Perte annuelle moyenne : espérance de la perte cat sur un an, égale à Σ λi·Li.
Que représente la courbe OEP ?: La probabilité que la plus grande perte d'une année dépasse un montant donné.
Que représente la courbe AEP ?: La probabilité que la perte cumulée de l'année dépasse un montant donné.
Quelle courbe est au-dessus de l'autre, OEP ou AEP ?: L'AEP est supérieure ou égale à l'OEP, car la somme annuelle est au moins aussi grande que le plus grand événement.
Quelle est la probabilité annuelle d'une perte de période de retour 200 ans ?: 0,5 % par an (1/200).
Une perte « centennale » peut-elle survenir deux années de suite ?: Oui : chaque année a 1 % de chance indépendamment du passé ; la période de retour est une probabilité, pas un calendrier.
Pourquoi l'AAL ne suffit-elle pas pour fixer une prime ?: Elle ignore la volatilité : il faut ajouter un chargement de risque et des frais.
Quand privilégie-t-on l'OEP ?: Pour dimensionner une couverture par événement, par exemple un excédent de sinistre par événement.
Qu'ajoute la TVaR par rapport à la VaR ?: Elle mesure la perte moyenne au-delà du seuil, donc la gravité de la queue.
D'où vient la probabilité d'excédance dans un modèle cat ?: Du classement des pertes annuelles simulées : la fraction des années simulées qui dépasse le montant.

Glossaire

AAL: Perte annuelle moyenne, espérance de la perte catastrophe sur un an.
OEP: Courbe de probabilité d'excédance fondée sur la plus grande perte de l'année.
AEP: Courbe de probabilité d'excédance fondée sur la perte annuelle cumulée.
Période de retour: Inverse de la probabilité annuelle d'excédance d'un niveau de perte.
Perte maximale probable: Perte associée à une probabilité d'excédance donnée, utilisée comme niveau de référence prudent pour un site ou un portefeuille.
Perte agrégée annuelle: Somme des pertes de tous les événements d'une année.