# Crédibilité de stabilité : fluctuation limitée

Sciences actuarielles · Master 1

> Crédibilité de fluctuation limitée : seuil de crédibilité totale, formule en racine et limites.

## Introduction

La crédibilité de fluctuation limitée, dite aussi « américaine » ou de stabilité, répond à une question simple : combien d'expérience faut-il avant de s'y fier entièrement ? On exige que l'estimation observée reste, avec une probabilité P, dans une marge ± k de la vraie valeur.

Pour un nombre de sinistres de Poisson, cela conduit à un standard de crédibilité totale λ_F = (y_p/k)², où y_p est le quantile de la loi normale correspondant à P. En dessous de ce seuil, on utilise une crédibilité partielle Z = √(n/n_F).

Cette méthode est ancienne, intuitive et simple, mais elle n'est pas fondée sur un critère d'erreur quadratique : on la compare ici à l'approche de précision maximale (Bühlmann).

## Objectifs d'apprentissage

- Calculer un standard de crédibilité totale pour un nombre de sinistres
- Appliquer la formule Z = √(n/n_F)
- Choisir et justifier P et k
- Comparer fluctuation limitée et précision maximale
- Identifier les limites de la méthode

## Concepts clés

- **Critère de stabilité** : On exige P(|X̄ − μ| ≤ k·μ) ≥ P, c'est-à-dire que l'estimation soit à moins de k % de la valeur vraie avec probabilité P. Typiquement P = 90 % et k = 5 %.
- **Standard pour la fréquence** : Si le nombre de sinistres N suit une loi de Poisson d'espérance λ, la condition donne λ_F = (y_p/k)², avec y_p = Φ⁻¹((1+P)/2). Pour P = 90 % et k = 5 %, y_p ≈ 1,645 et λ_F ≈ 1082 sinistres.
- **Crédibilité partielle** : Lorsque n < n_F, on pose Z = √(n/n_F), qui est le rapport des écarts-types, puis P = Z·X̄ + (1 − Z)·M, où M est la prime a priori (de référence).
- **Limites** : La méthode est ad hoc : pas de critère d'optimalité, ignorance de l'hétérogénéité du portefeuille, choix de P et k arbitraires. L'approche de précision maximale en fournit un fondement statistique.

## Conclusion

La crédibilité de stabilité reste utile comme règle de décision pratique pour fixer un seuil de volume minimal. Elle est cependant supplantée dans l'enseignement de l'actuariat par l'approche de précision maximale, plus rigoureuse.

Un actuaire doit connaître les deux et savoir expliquer pourquoi les résultats diffèrent : racine contre rapport n/(n+k), arbitraire des seuils contre estimation des structures.

## Cartes

### Que signifie « fluctuation limitée » ?

On limite la fluctuation de l'estimation : elle doit rester, avec probabilité P, dans une marge ± k de la valeur vraie.

### Quels paramètres usuels utilise-t-on ?

P = 90 % (ou 95 %) et k = 5 %, selon la précision souhaitée.

### Quel est le standard de crédibilité totale en nombre de sinistres (Poisson) ?

λ_F = (y_p/k)², avec y_p = Φ⁻¹((1+P)/2).

### Quelle valeur obtient-on pour P = 90 % et k = 5 % ?

Environ 1082 sinistres attendus ((1,645/0,05)² ≈ 1082).

### Comment obtient-on la crédibilité partielle ?

Z = √(n/n_F) pour n < n_F ; Z = 1 pour n ≥ n_F.

### Quelle crédibilité obtient-on avec n = n_F/4 ?

Z = √(1/4) = 1/2.

### Quelle est la différence essentielle avec Bühlmann ?

Bühlmann minimise l'erreur quadratique et tient compte de l'hétérogénéité ; la fluctuation limitée fixe un critère de précision sans modèle de portefeuille.

### Pourquoi le standard augmente-t-il quand k diminue ?

Une marge plus étroite exige beaucoup plus de données : n_F est proportionnel à 1/k².

### Quel standard pour des sinistres de coût variable ?

On multiplie par (1 + CV²), où CV est le coefficient de variation des montants : la variabilité des montants s'ajoute à celle du nombre.

## Glossaire

- **Standard de crédibilité totale** : Volume d'expérience au-delà duquel l'estimation est jugée pleinement crédible.
- **Crédibilité partielle** : Poids Z<1 donné à l'expérience lorsque le volume est insuffisant.
- **Prime de référence** : Prime a priori (tarif du marché ou du portefeuille) sur laquelle on s'appuie en complément.
- **Quantile normal y_p** : Valeur y telle que P(|N| ≤ y) = P pour une loi normale centrée réduite.
- **Coefficient de variation** : Rapport écart-type/moyenne d'un montant de sinistre.
- **Précision maximale** : Approche qui minimise l'erreur quadratique (Bühlmann), par opposition à la stabilité.

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