Bühlmann-Straub : crédibilité avec poids de volume

Sciences actuarielles · Master 1

Crédibilité de Bühlmann-Straub : volumes d'exposition, estimation de k et prime par contrat.

Introduction

Dans un portefeuille réel, les contrats n'ont pas tous la même taille : une PME de 500 employés et un indépendant ne génèrent pas des observations de même précision. Le modèle de Bühlmann simple suppose des années de poids égal ; il ne convient donc pas lorsque l'exposition varie.

Le modèle de Bühlmann-Straub introduit des poids de volume w_ij (masse salariale, nombre de véhicules-années, somme assurée) et pondère les observations en conséquence. La prime de crédibilité reste de la forme P = Z·X̄_w + (1 − Z)·m, mais Z = w/(w + k) dépend désormais du volume total w du contrat, avec k = s²/a.

La difficulté pratique est l'estimation des paramètres structurels s² (variabilité intra-contrat) et a (hétérogénéité entre contrats) à partir du portefeuille lui-même. Ce deck présente le modèle, ses estimateurs et ses limites.

Objectifs d'apprentissage

Énoncer les hypothèses du modèle de Bühlmann-Straub
Calculer le facteur Z et la prime de crédibilité d'un contrat
Expliquer comment s² et a sont estimés à partir du portefeuille
Interpréter le cas où l'estimateur de a est négatif
Comparer Bühlmann et Bühlmann-Straub

Concepts clés

Paramètre de risque Θ: Chaque contrat i porte un paramètre de risque Θ_i non observable, tiré indépendamment d'une loi commune. Conditionnellement à Θ_i, les observations (rapports sinistres/exposition) sont indépendantes, d'espérance μ(Θ_i) et de variance σ²(Θ_i)/w_ij.
Paramètres structurels: m = E[μ(Θ)] est la prime collective, s² = E[σ²(Θ)] la variabilité intra-contrat (processus), a = Var(μ(Θ)) l'hétérogénéité entre contrats. Le rapport k = s²/a mesure le poids relatif du bruit par rapport à la vraie différence de risque.
Facteur de crédibilité: Z_i = w_i/(w_i + k), où w_i est le volume total du contrat. Z croît avec le volume et avec a, décroît avec s². Un grand contrat obtient une crédibilité élevée : son expérience propre prime sur la moyenne collective.
Meilleur prédicteur linéaire: La prime de crédibilité minimise l'erreur quadratique moyenne parmi toutes les fonctions linéaires des observations. Elle coïncide avec l'espérance a posteriori exacte dans certains cas bayésiens (modèles conjugués).

Conclusion

Le modèle de Bühlmann-Straub est l'outil standard de la crédibilité pour les portefeuilles à exposition variable, notamment en assurance collective et en assurance de flottes. Sa force est de dériver les poids à partir des données du portefeuille.

Sa limite tient à l'estimation de s² et de a, sensible à la taille du portefeuille et aux valeurs extrêmes. Un actuaire doit donc vérifier la stabilité des paramètres et justifier la prime obtenue.

Cartes

Quel est l'apport du modèle de Bühlmann-Straub par rapport à celui de Bühlmann ?: Il introduit des poids de volume w_ij (exposition) variables selon contrats et années, de sorte que Z dépend du volume observé.
Quelle est la forme de la prime de crédibilité ?: P_i = Z_i·X̄_i,w + (1 − Z_i)·m, moyenne pondérée entre l'expérience pondérée du contrat et la moyenne collective.
Comment s'écrit Z_i en Bühlmann-Straub ?: Z_i = w_i/(w_i + k), avec w_i = Σ_j w_ij et k = s²/a.
Que représente k = s²/a ?: Le rapport entre la variabilité intra-contrat (bruit) et l'hétérogénéité entre contrats (signal). Un k élevé donne un Z faible.
Que vaut Z si w = k ?: Z = 1/2 : l'expérience propre et la moyenne collective ont le même poids.
Que se passe-t-il si l'estimateur de a est négatif ?: On le fixe à zéro : k est alors infini, Z = 0 et tous les contrats reçoivent la prime collective (aucune hétérogénéité détectable).
Pourquoi estime-t-on s² et a sur le portefeuille entier ?: Ce sont des paramètres structurels communs à tous les contrats ; un seul contrat ne permet pas de les estimer correctement.
Quelle propriété d'optimalité a la prime de crédibilité ?: Elle est le meilleur prédicteur linéaire (en erreur quadratique) de la prime idéale μ(Θ_i) fondé sur l'expérience.
Quelle est la limite de la prime de crédibilité quand w tend vers l'infini ?: Z tend vers 1 : la prime tend vers l'expérience propre du contrat, la moyenne collective n'intervient plus.

Glossaire

Poids de volume: Mesure d'exposition attribuée à chaque observation (véhicules-années, masse salariale).
Variance intra-contrat (s²): Espérance de la variance conditionnelle : fluctuation aléatoire d'un contrat autour de son niveau de risque propre.
Hétérogénéité (a): Variance du risque individuel μ(Θ) : écart réel de risque entre contrats du portefeuille.
Prime collective (m): Moyenne du portefeuille, espérance de μ(Θ), utilisée comme référence a priori.
Facteur de crédibilité: Poids Z∈[0,1] accordé à l'expérience propre dans la prime finale.
Prédicteur linéaire optimal: Combinaison linéaire des observations qui minimise l'erreur quadratique moyenne.