# Crédibilité bayésienne : modèle Poisson-Gamma

Sciences actuarielles · Master 2

> Approche bayésienne : loi a priori Gamma, a posteriori, prime exacte et lien avec Bühlmann.

## Introduction

L'approche bayésienne de la crédibilité traite le paramètre de risque Θ comme une variable aléatoire dont la loi a priori décrit l'hétérogénéité du portefeuille. L'expérience individuelle permet de passer de la loi a priori à la loi a posteriori, dont l'espérance donne la prime.

Le modèle Poisson-Gamma est l'exemple de référence : le nombre annuel de sinistres suit une loi de Poisson de paramètre Θ, lui-même de loi Gamma. La loi a posteriori reste une loi Gamma, ce qui donne une prime explicite.

Résultat remarquable : la prime bayésienne est ici exactement une moyenne pondérée de l'expérience et de la moyenne collective, avec le facteur Z de Bühlmann. On parle de crédibilité exacte.

## Objectifs d'apprentissage

- Établir la loi a posteriori du modèle Poisson-Gamma
- Calculer la prime bayésienne et la décomposer en Z·X̄ + (1 − Z)·m
- Identifier k en fonction des paramètres de la loi a priori
- Expliquer la crédibilité exacte et ses limites
- Comparer prime bayésienne et prime de Bühlmann

## Concepts clés

- **Modèle Poisson-Gamma** : Sachant Θ = θ, les nombres de sinistres annuels X_1, ..., X_n sont i.i.d. Poisson(θ). A priori Θ suit une loi Gamma(α, β) (paramètre de forme α, de taux β), d'espérance α/β et de variance α/β².
- **Loi a posteriori** : Θ | X_1..X_n suit une loi Gamma(α + ΣX_i, β + n). Le paramètre de forme augmente du nombre de sinistres observés, le taux du nombre d'années d'observation.
- **Prime bayésienne** : E[Θ | X] = (α + ΣX_i)/(β + n) = Z·X̄ + (1 − Z)·(α/β) avec Z = n/(n + β). On retrouve la forme de Bühlmann avec k = β.
- **Crédibilité exacte** : Pour les familles exponentielles conjuguées (Poisson-Gamma, Normale-Normale, Bernoulli-Bêta), la prime bayésienne est linéaire en X̄ et coïncide donc avec la prime de Bühlmann. Hors conjugaison, la prime de Bühlmann n'est qu'une approximation linéaire.

## Conclusion

Le modèle Poisson-Gamma illustre le lien entre statistique bayésienne et crédibilité : la prime a posteriori équilibre information individuelle et collective. L'identité avec la prime de Bühlmann explique le succès de cette dernière.

Hors conjugaison, ou pour des lois plus complexes, on recourt à des méthodes de simulation (MCMC), mais la logique reste celle d'une mise à jour progressive de la connaissance du risque.

## Cartes

### Quelle est la loi a priori usuelle pour le paramètre d'une loi de Poisson ?

La loi Gamma, conjuguée de la Poisson.

### Quelle est la loi a posteriori dans le modèle Poisson-Gamma ?

Gamma(α + Σ X_i, β + n).

### Quelle est la prime bayésienne ?

E[Θ | X] = (α + ΣX_i)/(β + n).

### Comment s'écrit Z dans ce modèle ?

Z = n/(n + β) : on retrouve Bühlmann avec k = β.

### Que vaut la moyenne collective m ?

m = α/β, espérance de la loi Gamma a priori.

### Calcul : α = 2, β = 20, n = 5, un sinistre au total. Quelle prime ?

(2+1)/(20+5) = 0,12 ; Z = 5/25 = 0,2 ; 0,2×0,2 + 0,8×0,1 = 0,12.

### Qu'appelle-t-on crédibilité exacte ?

Le cas où la prime bayésienne est exactement linéaire en l'expérience, donc égale à la prime de Bühlmann.

### Quelle hypothèse de conjugaison rend le calcul possible ?

La loi a posteriori reste dans la même famille que la loi a priori (famille conjuguée), ce qui évite toute intégration numérique.

### Que se passe-t-il si β est très grand ?

Z est proche de 0 : la loi a priori est très concentrée (peu d'hétérogénéité) et l'expérience individuelle compte peu.

## Glossaire

- **Loi a priori** : Loi de Θ décrivant l'hétérogénéité du portefeuille avant toute observation individuelle.
- **Loi a posteriori** : Loi de Θ conditionnée par l'expérience observée, obtenue par la formule de Bayes.
- **Loi conjuguée** : Famille de lois a priori stable après mise à jour bayésienne pour une vraisemblance donnée.
- **Prime bayésienne** : Espérance a posteriori du risque, minimisant l'erreur quadratique parmi toutes les fonctions des données.
- **Crédibilité exacte** : Propriété selon laquelle la prime bayésienne est linéaire et égale à la prime de crédibilité.
- **Paramètre de taux β** : Paramètre de la loi Gamma qui joue le rôle d'un nombre d'années d'observation fictives a priori.

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