Crédibilité bayésienne : modèle Poisson-Gamma

Sciences actuarielles · Master 2

Approche bayésienne : loi a priori Gamma, a posteriori, prime exacte et lien avec Bühlmann.

Introduction

L'approche bayésienne de la crédibilité traite le paramètre de risque Θ comme une variable aléatoire dont la loi a priori décrit l'hétérogénéité du portefeuille. L'expérience individuelle permet de passer de la loi a priori à la loi a posteriori, dont l'espérance donne la prime.

Le modèle Poisson-Gamma est l'exemple de référence : le nombre annuel de sinistres suit une loi de Poisson de paramètre Θ, lui-même de loi Gamma. La loi a posteriori reste une loi Gamma, ce qui donne une prime explicite.

Résultat remarquable : la prime bayésienne est ici exactement une moyenne pondérée de l'expérience et de la moyenne collective, avec le facteur Z de Bühlmann. On parle de crédibilité exacte.

Objectifs d'apprentissage

Établir la loi a posteriori du modèle Poisson-Gamma
Calculer la prime bayésienne et la décomposer en Z·X̄ + (1 − Z)·m
Identifier k en fonction des paramètres de la loi a priori
Expliquer la crédibilité exacte et ses limites
Comparer prime bayésienne et prime de Bühlmann

Concepts clés

Modèle Poisson-Gamma: Sachant Θ = θ, les nombres de sinistres annuels X_1, ..., X_n sont i.i.d. Poisson(θ). A priori Θ suit une loi Gamma(α, β) (paramètre de forme α, de taux β), d'espérance α/β et de variance α/β².
Loi a posteriori: Θ | X_1..X_n suit une loi Gamma(α + ΣX_i, β + n). Le paramètre de forme augmente du nombre de sinistres observés, le taux du nombre d'années d'observation.
Prime bayésienne: E[Θ | X] = (α + ΣX_i)/(β + n) = Z·X̄ + (1 − Z)·(α/β) avec Z = n/(n + β). On retrouve la forme de Bühlmann avec k = β.
Crédibilité exacte: Pour les familles exponentielles conjuguées (Poisson-Gamma, Normale-Normale, Bernoulli-Bêta), la prime bayésienne est linéaire en X̄ et coïncide donc avec la prime de Bühlmann. Hors conjugaison, la prime de Bühlmann n'est qu'une approximation linéaire.

Conclusion

Le modèle Poisson-Gamma illustre le lien entre statistique bayésienne et crédibilité : la prime a posteriori équilibre information individuelle et collective. L'identité avec la prime de Bühlmann explique le succès de cette dernière.

Hors conjugaison, ou pour des lois plus complexes, on recourt à des méthodes de simulation (MCMC), mais la logique reste celle d'une mise à jour progressive de la connaissance du risque.

Cartes

Quelle est la loi a priori usuelle pour le paramètre d'une loi de Poisson ?: La loi Gamma, conjuguée de la Poisson.
Quelle est la loi a posteriori dans le modèle Poisson-Gamma ?: Gamma(α + Σ X_i, β + n).
Quelle est la prime bayésienne ?: E[Θ | X] = (α + ΣX_i)/(β + n).
Comment s'écrit Z dans ce modèle ?: Z = n/(n + β) : on retrouve Bühlmann avec k = β.
Que vaut la moyenne collective m ?: m = α/β, espérance de la loi Gamma a priori.
Calcul : α = 2, β = 20, n = 5, un sinistre au total. Quelle prime ?: (2+1)/(20+5) = 0,12 ; Z = 5/25 = 0,2 ; 0,2×0,2 + 0,8×0,1 = 0,12.
Qu'appelle-t-on crédibilité exacte ?: Le cas où la prime bayésienne est exactement linéaire en l'expérience, donc égale à la prime de Bühlmann.
Quelle hypothèse de conjugaison rend le calcul possible ?: La loi a posteriori reste dans la même famille que la loi a priori (famille conjuguée), ce qui évite toute intégration numérique.
Que se passe-t-il si β est très grand ?: Z est proche de 0 : la loi a priori est très concentrée (peu d'hétérogénéité) et l'expérience individuelle compte peu.

Glossaire

Loi a priori: Loi de Θ décrivant l'hétérogénéité du portefeuille avant toute observation individuelle.
Loi a posteriori: Loi de Θ conditionnée par l'expérience observée, obtenue par la formule de Bayes.
Loi conjuguée: Famille de lois a priori stable après mise à jour bayésienne pour une vraisemblance donnée.
Prime bayésienne: Espérance a posteriori du risque, minimisant l'erreur quadratique parmi toutes les fonctions des données.
Crédibilité exacte: Propriété selon laquelle la prime bayésienne est linéaire et égale à la prime de crédibilité.
Paramètre de taux β: Paramètre de la loi Gamma qui joue le rôle d'un nombre d'années d'observation fictives a priori.