# Valeurs extrêmes : Pareto généralisée et méthode POT

Sciences actuarielles · Master 2

> Théorie des valeurs extrêmes : GEV, Pareto généralisée, estimateur de Hill et VaR par POT.

## Introduction

Les gros sinistres, les crues, les grêles ou les tempêtes font peser sur l'assureur et le réassureur des pertes dont la queue de distribution est mal décrite par les lois usuelles. La théorie des valeurs extrêmes fournit un cadre asymptotique pour modéliser uniquement cette queue.

Deux approches coexistent : les maxima par blocs, qui convergent vers la loi des valeurs extrêmes généralisée (GEV), et les dépassements de seuil (POT), dont les excès suivent asymptotiquement une loi de Pareto généralisée (GPD). L'indice de queue ξ gouverne le comportement des gros sinistres et l'existence des moments.

## Objectifs d'apprentissage

- Énoncer les théorèmes de Fisher-Tippett et de Pickands-Balkema-de Haan
- Interpréter le paramètre de forme ξ
- Choisir un seuil par le graphique des excès moyens
- Estimer un quantile extrême par POT
- Distinguer GEV et GPD

## Concepts clés

- **Maxima par blocs et GEV** : Si le maximum normalisé de n observations converge, la limite est une loi GEV de paramètre de forme ξ (théorème de Fisher-Tippett-Gnedenko). Les cas ξ > 0, ξ = 0 et ξ < 0 correspondent aux domaines de Fréchet, de Gumbel et de Weibull.
- **Dépassements de seuil et GPD** : Pour un seuil u élevé, la loi des excès X − u sachant X > u est approchée par une GPD de paramètres d'échelle β et de forme ξ (Pickands-Balkema-de Haan). ξ > 0 : queue épaisse ; ξ = 0 : queue exponentielle ; ξ < 0 : support borné.
- **Indice de queue et moments** : Pour ξ > 0, la moyenne est finie si ξ < 1 et la variance si ξ < 1/2. L'estimateur de Hill, fondé sur les logarithmes des k plus grandes observations, estime ξ pour les lois à queue lourde.
- **Choix du seuil et VaR extrême** : Le graphique des excès moyens est approximativement linéaire au-dessus d'un bon seuil. Trop bas, le seuil crée un biais ; trop haut, il laisse trop peu de données (variance). VaR_p = u + (β/ξ)·[(n/N_u·(1−p))^(−ξ) − 1], où N_u est le nombre de dépassements.

## Conclusion

La théorie des valeurs extrêmes modélise la queue des pertes avec peu d'hypothèses : GEV pour les maxima, GPD pour les excès. Le paramètre ξ résume l'épaisseur de la queue, mais son estimation est incertaine et le choix du seuil reste un compromis.

Elle est centrale pour les risques de catastrophe naturelle et la tarification de la réassurance en excédent de sinistre.

## Cartes

### Quel théorème conduit à la loi GEV ?

Fisher-Tippett-Gnedenko, sur la convergence des maxima normalisés.

### Que dit Pickands-Balkema-de Haan ?

Les excès au-dessus d'un seuil élevé suivent approximativement une GPD.

### Que signifie ξ > 0 ?

Une queue épaisse (domaine de Fréchet), de type Pareto.

### Que vaut ξ pour une queue exponentielle ?

ξ = 0 (cas limite de la GPD, domaine de Gumbel).

### À quelle condition la moyenne existe-t-elle pour ξ > 0 ?

ξ < 1.

### Et la variance ?

ξ < 1/2.

### Que montre le graphique des excès moyens ?

L'espérance des excès au-dessus de u : linéaire et croissante pour une GPD avec ξ > 0.

### Dilemme du choix du seuil ?

Seuil trop bas : biais ; seuil trop haut : peu de points, variance forte.

### À quoi sert l'estimateur de Hill ?

À estimer l'indice de queue ξ pour des lois à queue lourde.

### Pourquoi utiliser ces outils en réassurance ?

Pour tarifer des couvertures en excédent de sinistre, qui n'agissent que dans la queue.

## Glossaire

- **Valeur extrême** : Observation très éloignée de la masse de la distribution.
- **GEV** : Loi des valeurs extrêmes généralisée, limite des maxima normalisés.
- **GPD** : Loi de Pareto généralisée, approximation des excès au-dessus d'un seuil.
- **Indice de queue** : Paramètre ξ qui décrit l'épaisseur de la queue.
- **POT** : Méthode des dépassements de seuil (peaks over threshold).
- **Période de retour** : Durée moyenne entre deux dépassements d'un niveau donné.

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