Mortalité observée et attendue : SMR et tests statistiques

Sciences actuarielles · Bachelor 3

Comparer décès observés et attendus : SMR, loi de Poisson, intervalles et test du khi-deux.

Introduction

Un assureur ou une caisse de pensions veut savoir si la mortalité de ses assurés diffère de celle d'une table de référence. Il compare les décès observés aux décès attendus, calculés en appliquant les taux de la table à l'exposition par âge de son portefeuille.

Le rapport entre les deux, appelé ratio standardisé de mortalité (SMR) ou rapport A/E, se teste avec la loi de Poisson ou le test du khi-deux. Ces outils servent à choisir ou à adapter une table, à fixer une prime ou un facteur de correction, mais ils demandent une exposition suffisante pour avoir de la puissance.

Objectifs d'apprentissage

Calculer des décès attendus
Définir et interpréter le SMR
Tester l'écart par la loi de Poisson
Appliquer le test du khi-deux par classe d'âge
Reconnaître les limites de puissance

Concepts clés

Décès attendus: E = Σ_x L_x·q_x, où L_x est l'exposition au risque à l'âge x (en années-personnes) et q_x le taux de la table de référence. C'est le nombre de décès que l'on observerait si le portefeuille suivait la table.
SMR ou rapport A/E: SMR = D_obs / E. Une valeur de 100 % signifie une mortalité conforme à la table, 80 % une mortalité inférieure de 20 %. Il s'agit d'une standardisation indirecte : la structure d'âge du portefeuille est appliquée aux taux de référence.
Test et intervalle: Sous l'hypothèse de conformité, D_obs suit approximativement une loi de Poisson de moyenne E. On peut tester par z = (D − E)/√E ou construire un intervalle de confiance exact ou approché du SMR.
Test du khi-deux et limites: χ² = Σ (O_i − E_i)²/E_i sur des classes d'âge ou de sexe. Le test détecte des écarts de profil, mais il perd en puissance si E est petit. Un SMR global peut masquer des compensations entre âges.

Conclusion

Comparer décès observés et attendus est la base de l'analyse d'expérience : le SMR synthétise l'écart, la loi de Poisson et le khi-deux permettent d'en juger la significativité. Les conclusions dépendent de l'exposition disponible et doivent être détaillées par âge et sexe.

Ces outils prolongent la construction et la lecture des tables de mortalité.

Cartes

Comment calcule-t-on les décès attendus ?: Exposition par âge multipliée par le taux de décès de la table, sommée sur les âges.
Que vaut le SMR ?: SMR = décès observés / décès attendus.
Que signifie un SMR de 120 % ?: 20 % de décès de plus que prévu par la table.
Quelle loi approche le nombre de décès ?: La loi de Poisson de moyenne E sous l'hypothèse de conformité.
Quel est l'écart-type approximatif de D ?: √E, car la variance de Poisson égale sa moyenne.
Comment s'écrit la statistique du khi-deux ?: Σ (O − E)² / E sur les classes.
Pourquoi parle-t-on de standardisation indirecte ?: On applique les taux d'une population de référence à la structure d'âge du portefeuille.
Quel risque présente un petit portefeuille ?: Faible puissance : un écart réel peut ne pas être détecté.
Un SMR global suffit-il ?: Non, il peut cacher des écarts de signes opposés selon l'âge ou le sexe.
À quoi sert l'analyse A/E en pratique ?: À valider ou ajuster une table de mortalité, ou à calibrer un facteur multiplicatif.

Glossaire

Décès attendus: Nombre de décès prévu par la table sur l'exposition du portefeuille.
SMR: Rapport entre décès observés et attendus.
Exposition au risque: Nombre d'années-personnes vécues sous observation.
Loi de Poisson: Loi de comptage dont variance égale la moyenne.
Khi-deux: Test comparant effectifs observés et attendus.
Standardisation indirecte: Application des taux de référence à la structure du groupe étudié.