# Ajustement de lois de sinistres : vraisemblance et critères AIC/BIC

Sciences actuarielles · Bachelor 3

> Ajuster lognormale, gamma ou Pareto aux sinistres : vraisemblance, QQ-plot, KS, AIC, BIC.

## Introduction

Pour tarifer ou provisionner, l'actuaire doit représenter le coût individuel des sinistres par une loi de probabilité. Les candidates usuelles sont l'exponentielle, la gamma, la lognormale et la Pareto, qui diffèrent surtout par l'épaisseur de leur queue.

Les paramètres sont estimés par maximum de vraisemblance, en tenant compte de la franchise (troncature à gauche) et des plafonds de couverture (censure à droite). Le choix du modèle s'appuie sur des outils graphiques (QQ-plot), des tests d'adéquation et des critères d'information qui pénalisent la complexité.

## Objectifs d'apprentissage

- Estimer par maximum de vraisemblance une loi de coûts
- Interpréter un QQ-plot
- Appliquer Kolmogorov-Smirnov et Anderson-Darling
- Comparer des modèles par AIC et BIC
- Traiter franchises et plafonds

## Concepts clés

- **Estimation par maximum de vraisemblance** : On choisit les paramètres qui maximisent la log-vraisemblance. Exponentielle : λ̂ = 1/moyenne. Lognormale : μ̂ et σ̂² sont la moyenne et la variance empirique (version 1/n) des logarithmes des sinistres.
- **Troncature et censure** : Une franchise tronque à gauche : seuls les sinistres au-dessus du seuil sont observés, on conditionne la densité sur X > d. Un plafond censure à droite : on sait seulement que le sinistre dépasse la limite, et on utilise la fonction de survie dans la vraisemblance.
- **Diagnostics d'adéquation** : Le QQ-plot compare quantiles empiriques et théoriques ; des points alignés indiquent un bon ajustement. Le test de Kolmogorov-Smirnov mesure l'écart maximal entre fonctions de répartition ; Anderson-Darling pèse davantage les queues. Avec des paramètres estimés, les seuils tabulés doivent être ajustés.
- **Critères d'information** : AIC = 2k − 2·ln L et BIC = k·ln n − 2·ln L, où k est le nombre de paramètres. On retient le modèle de valeur minimale. BIC pénalise plus la complexité dès que n est supérieur à 7 environ.

## Conclusion

Ajuster une loi de sinistres combine estimation par vraisemblance, prise en compte des franchises et plafonds, diagnostics visuels et critères de sélection. Le choix final doit toujours rester cohérent avec la nature du risque, en particulier pour la queue.

Ces techniques sont la base des modèles de tarification et de la théorie des valeurs extrêmes.

## Cartes

### Quel est l'estimateur du maximum de vraisemblance du paramètre d'une exponentielle ?

λ̂ = 1 / moyenne empirique des sinistres.

### Quelle loi a la queue la plus épaisse parmi gamma, lognormale et Pareto ?

La Pareto, à décroissance polynomiale.

### Comment estime-t-on une lognormale ?

On calcule moyenne et écart-type des logarithmes des sinistres.

### Qu'est-ce qu'une troncature à gauche ?

Les sinistres inférieurs à la franchise ne sont pas observés.

### Qu'est-ce qu'une censure à droite ?

Le montant réel n'est connu que comme supérieur au plafond.

### Que vérifie un QQ-plot ?

Si les quantiles empiriques suivent les quantiles du modèle (alignement sur la diagonale).

### Que mesure la statistique de Kolmogorov-Smirnov ?

Le maximum de l'écart entre fonction de répartition empirique et théorique.

### Quel test est plus sensible aux queues ?

Anderson-Darling.

### Comment s'écrit l'AIC ?

AIC = 2k − 2 ln L : plus petit est meilleur.

### Quand préférer le BIC à l'AIC ?

Quand on souhaite une pénalité plus forte de la complexité, en particulier pour de grands échantillons.

## Glossaire

- **Maximum de vraisemblance** : Méthode qui choisit les paramètres rendant les données observées les plus probables.
- **Lognormale** : Loi dont le logarithme est normal ; modèle courant pour des coûts positifs et asymétriques.
- **Troncature** : Absence des observations sous un seuil (par exemple la franchise).
- **Censure** : Observation connue seulement comme dépassant une limite.
- **QQ-plot** : Graphique comparant quantiles empiriques et théoriques.
- **AIC** : Critère d'information d'Akaike : 2k − 2 ln L.

https://ruvy.ch/decks/-P5CbwUZlF0CiDEdURpo