Modèles de taux de Vasicek et CIR, générateurs de scénarios

Sciences actuarielles · Master 2

Retour à la moyenne, Vasicek, CIR, prix zéro-coupon et générateurs de scénarios économiques.

Introduction

Pour projeter les engagements d'un assureur sur plusieurs décennies, on doit simuler l'évolution des taux d'intérêt. Les modèles de taux court décrivent le taux instantané r_t par une équation différentielle stochastique avec retour vers une moyenne de long terme.

Le modèle de Vasicek est gaussien et permet des taux négatifs, ce qui a été utile dans le contexte du franc suisse. Le modèle de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) introduit un terme en racine carrée qui évite les taux négatifs sous une condition de Feller. Ces modèles alimentent les générateurs de scénarios économiques utilisés pour les analyses de capital et de garanties.

Objectifs d'apprentissage

Écrire les EDS de Vasicek et de CIR
Calculer espérance et variance d'un taux futur
Énoncer la condition de Feller
Décrire la structure affine du prix d'un zéro-coupon
Distinguer scénarios en monde réel et risque neutre

Concepts clés

Modèle de Vasicek: dr = a(b − r)dt + σ dW, avec a vitesse de retour, b moyenne de long terme, σ volatilité. r_t est gaussien : E[r_t] = b + (r_0 − b)e^(−at) et Var(r_t) = σ²/(2a)·(1 − e^(−2at)). La loi stationnaire est N(b, σ²/(2a)).
Modèle CIR: dr = a(b − r)dt + σ√r dW. La volatilité dépend du niveau du taux, ce qui évite les taux négatifs si 2ab ≥ σ² (condition de Feller). La loi de r_t n'est plus gaussienne (khi-deux non centrée).
Prix de zéro-coupon affine: Dans ces deux modèles, P(t,T) = A(t,T)·exp(−B(t,T)·r_t). Pour Vasicek, B = (1 − e^(−a(T−t)))/a. La courbe des taux est ainsi une fonction affine du taux court, ce qui rend le calibrage et la simulation efficaces.
Générateur de scénarios économiques: Un générateur combine taux, actions, inflation et crédit. En monde risque neutre, calibré sur des prix de marché, il sert à valoriser des garanties. En monde réel, il projette des trajectoires pour mesurer des risques. Des tests de martingale vérifient la cohérence.

Conclusion

Vasicek et CIR sont deux modèles de référence du taux court : retour à la moyenne, prix zéro-coupon affines et simulation aisée. Leur choix dépend de la possibilité de taux négatifs et du calibrage visé.

Ils sont les briques des générateurs de scénarios économiques utilisés en gestion actif-passif et en évaluation de garanties.

Cartes

Quelle est l'EDS de Vasicek ?: dr = a(b − r)dt + σ dW.
Que représente b ?: La moyenne de long terme vers laquelle le taux revient.
Quelle est la loi stationnaire de Vasicek ?: N(b, σ²/(2a)).
Quel défaut présente Vasicek ?: Les taux peuvent devenir négatifs, ce qui est acceptable dans le contexte CHF, mais pas toujours souhaité.
Quelle est l'EDS de CIR ?: dr = a(b − r)dt + σ √r dW.
Quelle est la condition de Feller ?: 2ab ≥ σ², qui empêche le taux de toucher zéro.
Que signifie une structure affine ?: Le prix zéro-coupon est P = A·exp(−B·r), log-affine en r.
Que fait Hull-White par rapport à Vasicek ?: Il rend b dépendant du temps pour reproduire la courbe de taux initiale.
Monde réel ou risque neutre pour valoriser des garanties ?: Risque neutre, calibré sur des prix de marché.
À quoi sert un test de martingale ?: À vérifier que les prix actualisés simulés ont une espérance égale à leur prix initial.

Glossaire

Retour à la moyenne: Tendance d'une variable à revenir vers une valeur de long terme.
Taux court: Taux d'intérêt instantané, base des modèles de taux.
Condition de Feller: Condition 2ab ≥ σ² qui garantit la positivité de CIR.
Structure affine: Forme log-affine du prix des zéro-coupons en fonction du taux court.
Calibrage: Ajustement des paramètres du modèle aux données ou aux prix de marché.
Générateur de scénarios économiques: Outil produisant des trajectoires cohérentes de variables financières.