Copules et dépendance de queue pour agréger les risques

Sciences actuarielles · Master 1

Théorème de Sklar, copules gaussienne, Clayton et Gumbel, dépendance de queue et agrégation.

Introduction

L'agrégation des risques d'un assureur exige de modéliser leur dépendance, notamment en situation de crise où plusieurs pertes surviennent ensemble. La corrélation linéaire résume mal cette dépendance, en particulier dans les queues.

Une copule est une fonction qui relie les lois marginales à la loi conjointe. Le théorème de Sklar permet de séparer le choix des marges de celui de la structure de dépendance. Des familles comme la gaussienne, la Student, la Clayton ou la Gumbel se distinguent par leur dépendance de queue. Selon l'approche, l'agrégation peut passer par une matrice de corrélation ou par une copule.

Objectifs d'apprentissage

Énoncer le théorème de Sklar
Distinguer corrélation linéaire et dépendance
Calculer le tau de Kendall et la dépendance de queue pour Clayton
Comparer les familles de copules
Relier copules et agrégation de risques

Concepts clés

Théorème de Sklar: Toute loi conjointe H de marges F et G s'écrit H(x,y) = C(F(x), G(y)) pour une copule C, unique si les marges sont continues. Les bornes de Fréchet encadrent toute copule : max(u+v−1, 0) ≤ C(u,v) ≤ min(u,v).
Limites de la corrélation linéaire: Le coefficient de corrélation ne capture que la dépendance linéaire, dépend des marges et peut être inadapté pour des lois à queue épaisse. Deux risques avec la même corrélation peuvent avoir des comportements très différents en cas de crise.
Familles et dépendance de queue: Gaussienne : pas de dépendance de queue si |ρ| < 1. Student : dépendance de queue symétrique. Clayton : dépendance de queue inférieure λ_L = 2^(−1/θ). Gumbel : dépendance de queue supérieure λ_U = 2 − 2^(1/θ).
Mesures de rang et agrégation: Le tau de Kendall et le rho de Spearman ne dépendent que de la copule. Pour Clayton, τ = θ/(θ+2). Pour agréger des pertes, on simule la copule, on transforme par les marges inverses, puis on évalue la VaR ou la TVaR de la somme, laquelle n'est pas toujours sous-additive pour la VaR.

Conclusion

Les copules permettent de modéliser séparément marges et dépendance, et de représenter la dépendance de queue, essentielle dans les périodes de stress. Le choix de la famille a un fort impact sur le capital agrégé, d'où la nécessité de le justifier.

Elles complètent les mesures de risque et les modèles stochastiques de taux et de prix.

Cartes

Que dit le théorème de Sklar ?: H(x,y) = C(F(x), G(y)) : toute loi conjointe se décompose en marges et copule.
Quelle est la copule d'indépendance ?: C(u,v) = u·v.
Que sont les bornes de Fréchet ?: W(u,v) = max(u+v−1, 0) et M(u,v) = min(u,v).
Pourquoi la corrélation linéaire est-elle limitée ?: Elle ne mesure que la dépendance linéaire et dépend des marges.
La copule gaussienne a-t-elle une dépendance de queue ?: Non, si |ρ| < 1, les extrêmes sont asymptotiquement indépendants.
Quelle copule modélise une forte dépendance en cas de pertes simultanées ?: La copule de Clayton, qui a une dépendance de queue inférieure.
Quelle est la formule de λ_L pour Clayton ?: λ_L = 2^(−1/θ).
Que vaut τ de Kendall pour Clayton ?: τ = θ/(θ+2).
La VaR est-elle toujours sous-additive ?: Non, elle peut violer la sous-additivité ; la TVaR est cohérente.
Comment simule-t-on des risques dépendants avec une copule ?: On simule des uniformes dépendants, puis on applique les quantiles marginaux.

Glossaire

Copule: Fonction de répartition conjointe à marges uniformes qui décrit la dépendance.
Théorème de Sklar: Résultat reliant loi conjointe, marges et copule.
Dépendance de queue: Probabilité conditionnelle de perte extrême simultanée.
Tau de Kendall: Mesure de concordance fondée sur les rangs.
Corrélation linéaire: Mesure de dépendance linéaire de Pearson.
TVaR: Perte moyenne au-delà de la VaR.