# Black-Scholes : mouvement brownien géométrique et risque neutre Sciences actuarielles · Master 1 > Dynamique brownienne géométrique, lemme d'Itô, formule de Black-Scholes et garanties d'assurance. ## Introduction Les contrats d'assurance vie liés à des fonds contiennent souvent des garanties financières, comparables à des options : capital minimum à l'échéance, plancher de rendement. Les valoriser demande un modèle d'évolution des prix des actifs. Le modèle de Black-Scholes décrit le prix d'une action par un mouvement brownien géométrique. Le lemme d'Itô donne la dynamique des fonctions de ce prix, et l'absence d'opportunité d'arbitrage permet de valoriser une option en espérance sous la probabilité risque neutre, actualisée au taux sans risque. ## Objectifs d'apprentissage - Écrire l'équation différentielle stochastique d'un prix - Appliquer le lemme d'Itô au logarithme du prix - Expliquer l'évaluation risque neutre - Utiliser la formule de Black-Scholes d'un call - Relier option et garantie d'assurance ## Concepts clés - **Mouvement brownien géométrique** : dS = μ·S·dt + σ·S·dW. Le rendement logarithmique suit une loi normale : S_T = S_0·exp((μ − σ²/2)T + σ·W_T). Le prix est donc lognormal et reste positif. - **Lemme d'Itô** : Pour f(S,t) régulière, df = (∂f/∂t + μS ∂f/∂S + ½σ²S² ∂²f/∂S²)dt + σS ∂f/∂S dW. Appliqué à ln S, il fait apparaître le terme de correction −σ²/2. - **Évaluation risque neutre** : En l'absence d'arbitrage, le prix d'un produit dérivé est l'espérance actualisée de son flux sous une probabilité où le rendement de l'actif est le taux sans risque r. Le paramètre μ disparaît du prix. - **Formule de Black-Scholes** : C = S·N(d1) − K·e^(−rT)·N(d2), avec d1 = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T]/(σ√T) et d2 = d1 − σ√T. Le delta du call est N(d1). La parité call-put s'écrit C − P = S − K·e^(−rT). ## Conclusion Black-Scholes fournit un cadre cohérent pour valoriser les options et, par analogie, les garanties financières des contrats d'assurance. Le mouvement brownien géométrique, le lemme d'Itô et le passage à la probabilité risque neutre sont les outils de base. Le modèle suppose cependant une volatilité constante et des marchés sans frictions ; les modèles de taux et les générateurs de scénarios prolongent l'approche. ## Cartes ### Quelle est l'EDS d'un mouvement brownien géométrique ? dS = μ S dt + σ S dW. ### Quelle loi suit S_T ? Une loi lognormale. ### Pourquoi apparaît-il −σ²/2 dans d(ln S) ? C'est le terme de correction d'Itô issu de la variation quadratique du brownien. ### Que devient μ en probabilité risque neutre ? Il est remplacé par le taux sans risque r. ### Que représente N(d2) ? La probabilité, sous la mesure risque neutre, que le call finisse dans la monnaie. ### Que vaut le delta d'un call ? N(d1), entre 0 et 1. ### Quelle est la parité call-put ? C − P = S − K e^(−rT). ### Quelle hypothèse du modèle est irréaliste ? La volatilité constante et l'absence de sauts. ### Pourquoi les garanties de capital d'un fonds ressemblent-elles à des options ? Elles versent un minimum garanti, comme une option de vente sur la valeur du fonds. ### Que mesure la volatilité σ ? L'écart-type annualisé du rendement logarithmique. ## Glossaire - **Mouvement brownien** : Processus à trajectoires continues et accroissements gaussiens indépendants. - **Lemme d'Itô** : Règle de dérivation des fonctions de processus d'Itô. - **Probabilité risque neutre** : Mesure sous laquelle les prix actualisés sont des martingales. - **Call européen** : Option d'achat exerçable uniquement à l'échéance. - **Delta** : Sensibilité du prix de l'option au sous-jacent. - **Volatilité** : Écart-type annualisé des rendements logarithmiques. https://ruvy.ch/decks/-P5CbtqKyisMr-Phjz9A