Duration, convexité et immunisation de Redington

Sciences actuarielles · Master 1

Sensibilité aux taux, duration, convexité et conditions d'immunisation de Redington.

Introduction

En gestion actif-passif, le risque de taux d'intérêt vient du fait que la valeur actuelle des actifs et celle des engagements ne réagissent pas de la même manière à une variation de la courbe des taux. La duration mesure cette sensibilité au premier ordre, la convexité la corrige au second ordre.

L'immunisation, formalisée par Redington en 1952, consiste à construire un portefeuille d'actifs dont la valeur du surplus (actifs moins passifs) ne baisse pas après un petit déplacement des taux. Elle repose sur trois conditions portant sur la valeur actuelle, la duration et la convexité. Elle suppose toutefois des chocs parallèles de la courbe et un rééquilibrage régulier.

Objectifs d'apprentissage

Calculer une duration de Macaulay et une duration modifiée
Estimer la variation de prix avec duration et convexité
Énoncer les trois conditions de Redington
Construire un portefeuille immunisé simple
Identifier les limites de l'immunisation

Concepts clés

Duration de Macaulay et modifiée: La duration de Macaulay est la moyenne des échéances pondérée par la valeur actuelle des flux : D = Σ t·VA(Ft) / P. La duration modifiée vaut D/(1+y) et donne la sensibilité relative du prix : ΔP/P ≈ −D_mod·Δy.
Convexité: Mesure de la courbure de la relation prix-taux. L'approximation au second ordre est ΔP/P ≈ −D_mod·Δy + ½·C·(Δy)². À duration égale, l'actif de plus forte convexité est favorisé quel que soit le sens du choc.
Conditions de Redington: Pour immuniser le surplus contre un petit choc de taux : (1) VA(actifs) = VA(passifs), (2) duration des actifs = duration des passifs, (3) convexité des actifs supérieure ou égale à celle des passifs (dispersion des flux d'actif plus grande).
Limites de l'immunisation: Le modèle suppose des déplacements parallèles de la courbe, des flux certains, sans risque de crédit ni option de rachat. Le portefeuille doit être rééquilibré, car la duration évolue avec le temps et avec les taux.

Conclusion

Duration et convexité permettent de quantifier le risque de taux et de construire un portefeuille dont le surplus résiste à de petits chocs. Les conditions de Redington en sont le cadre théorique, mais leur mise en pratique exige un rééquilibrage et des compléments pour les déformations non parallèles de la courbe.

Ces notions préparent aux analyses ALM complètes d'une caisse de pensions ou d'un assureur vie.

Cartes

Que mesure la duration de Macaulay ?: La durée moyenne pondérée par les valeurs actuelles des flux, exprimée en années.
Que vaut la duration d'une obligation zéro-coupon ?: Exactement son échéance, puisqu'il n'y a qu'un seul flux.
Comment passe-t-on de Macaulay à la duration modifiée ?: D_mod = D / (1 + y), où y est le rendement actuariel annuel.
Que donne ΔP/P à l'ordre un ?: ΔP/P ≈ −D_mod·Δy : un point de taux en plus fait baisser le prix d'environ D_mod %.
Que corrige la convexité ?: L'erreur de l'approximation linéaire : le prix est une fonction convexe du taux, donc la baisse est moins forte que prévu et la hausse plus forte.
Quelles sont les trois conditions de Redington ?: Égalité des valeurs actuelles, égalité des durations, convexité de l'actif au moins égale à celle du passif.
Pourquoi exiger une convexité d'actif supérieure ?: Pour que le surplus augmente après un choc, à la hausse comme à la baisse, au lieu de seulement rester stable au premier ordre.
Un coupon plus élevé augmente-t-il la duration ?: Non, il la réduit : les flux sont perçus plus tôt, donc la moyenne pondérée des échéances diminue.
Quel est le gap de duration ?: D_A − (Passif/Actif)·D_P : il indique la sensibilité des fonds propres aux taux.
Quelle est la principale limite de l'immunisation ?: Elle ne protège que contre des chocs parallèles de la courbe et exige un rééquilibrage régulier.

Glossaire

Duration de Macaulay: Moyenne des échéances des flux pondérée par leur valeur actuelle.
Duration modifiée: Duration de Macaulay divisée par (1 + y), sensibilité relative du prix au taux.
Convexité: Dérivée seconde du prix par rapport au taux rapportée au prix.
Immunisation: Technique d'appariement qui protège le surplus contre un petit déplacement de la courbe des taux.
Condition de Redington: Ensemble de trois conditions (valeur, duration, convexité) garantissant un surplus non décroissant.
Choc parallèle: Déplacement uniforme de tous les taux de la courbe d'un même montant.