Principes de calcul de prime : variance, écart-type, exponentiel
Sciences actuarielles · Master 1
Principes de prime: espérance, variance, écart-type, exponentiel; propriétés et exemples.
Introduction
Un principe de calcul de prime associe à un risque S une prime H(S) supérieure à l'espérance E[S] lorsque l'assureur exige une marge de sécurité. La prime pure E[S] est le point de départ : elle couvre le coût moyen des sinistres, mais sans marge, la ruine est quasi certaine à long terme.
Plusieurs principes sont classiques : espérance avec chargement proportionnel, variance, écart-type, exponentiel. Chacun a des propriétés différentes (additivité, homogénéité, monotonie) que l'actuaire doit connaître pour choisir un principe cohérent avec la mutualisation et avec les objectifs de solvabilité.
Objectifs d'apprentissage
- Définir la prime pure et le chargement de sécurité
- Calculer une prime selon les principes de l'espérance, de la variance, de l'écart-type et exponentiel
- Énoncer les propriétés souhaitables d'un principe
- Vérifier l'additivité et l'homogénéité
- Choisir un principe en fonction du contexte
Concepts clés
- Prime pure et chargement
- H(S) ≥ E[S]. Le chargement de sécurité H(S) − E[S] couvre l'incertitude. Avec E[S] seule, la probabilité de ruine d'un assureur est élevée sur le long terme.
- Principes usuels
- Espérance : (1+θ)E[S]. Variance : E[S] + α·Var(S). Écart-type : E[S] + β·σ(S). Exponentiel : (1/α)·ln E[e^{αS}], avec α > 0.
- Propriétés
- Additivité pour risques indépendants : H(X+Y) = H(X)+H(Y). Homogénéité : H(cX) = cH(X). Monotonie : X ≤ Y implique H(X) ≤ H(Y). Absence de chargement injustifié : H(c) = c pour une constante.
- Comparaison
- Variance et exponentiel sont additifs pour des risques indépendants; l'écart-type ne l'est pas. L'espérance chargée et l'écart-type sont homogènes; le principe exponentiel ne l'est pas.
Conclusion
Les principes de prime offrent un cadre pour fixer la marge de sécurité en fonction du risque. Ils diffèrent par leurs propriétés, ce qui guide le choix dans un portefeuille réel.
La théorie reste un point de départ ; l'actuaire doit encore intégrer les frais, la concurrence et la réglementation.
Cartes
- Qu'est-ce que la prime pure ?
- L'espérance E[S] des sinistres, sans chargement.
- Principe de l'espérance
- H(S) = (1+θ)E[S] avec θ > 0.
- Principe de la variance
- H(S) = E[S] + α·Var(S).
- Principe de l'écart-type
- H(S) = E[S] + β·σ(S).
- Principe exponentiel
- H(S) = (1/α)·ln E[e^{αS}], issu de l'utilité exponentielle.
- Quel principe est additif pour des risques indépendants ?
- La variance et l'exponentiel; l'écart-type ne l'est pas.
- Quel principe est homogène ?
- L'espérance chargée et l'écart-type; la variance et l'exponentiel ne le sont pas.
- Que vaut la prime exponentielle d'une loi de Poisson ?
- Pour S ~ Poisson(λ) : λ(e^α − 1)/α.
- Pourquoi un chargement est-il nécessaire ?
- Pour couvrir l'incertitude, les frais et la rémunération du capital.
Glossaire
- Prime pure
- Espérance des sinistres.
- Chargement de sécurité
- Montant ajouté à la prime pure pour couvrir le risque.
- Additivité
- Propriété H(X+Y) = H(X) + H(Y) pour X, Y indépendants.
- Homogénéité
- Propriété H(cX) = c·H(X).
- Utilité exponentielle
- Fonction d'utilité u(x) = −exp(−αx)/α, d'aversion constante au risque.
- Fonction génératrice des moments
- M_S(α) = E[e^{αS}].