Modèle de Lee-Carter : projection de la mortalité

Sciences actuarielles · Master 2

Modèle de Lee-Carter : décomposition a, b, k, SVD, marche aléatoire avec dérive, limites.

Introduction

Le modèle de Lee-Carter (1992) est la référence des modèles stochastiques de mortalité. Il décrit le logarithme du taux central de mortalité par âge x et par année t : ln m(x,t) = a(x) + b(x)·k(t) + ε(x,t). Le paramètre a(x) donne le profil moyen par âge, k(t) un indice temporel de mortalité et b(x) la sensibilité de chaque âge à cet indice.

La projection se fait en prolongeant k(t), généralement par une marche aléatoire avec dérive : k(t+1) = k(t) + θ + σ·Z. La dérive θ, négative dans les pays développés, traduit la baisse tendancielle de la mortalité. Cette approche fournit une distribution des taux futurs, donc des intervalles de confiance et une mesure du risque de longévité, indispensables en prévoyance et en rentes.

Objectifs d'apprentissage

Écrire le modèle de Lee-Carter et interpréter ses paramètres
Énoncer les contraintes d'identification
Estimer le modèle par SVD ou par maximum de vraisemblance Poisson
Projeter k(t) et en déduire des taux futurs
Discuter les limites et les extensions

Concepts clés

Structure du modèle: ln m(x,t) = a(x) + b(x)k(t) + ε. Le terme a(x) est la moyenne temporelle de ln m(x,t), b(x) mesure la réaction de l'âge x à k(t), k(t) est l'indice de mortalité de l'année t.
Contraintes d'identification: Pour éviter l'indétermination multiplicative, on impose Σ b(x) = 1 et Σ k(t) = 0. Sans elles, plusieurs jeux de paramètres donneraient le même ajustement.
Estimation: Méthode d'origine : décomposition en valeurs singulières (SVD) des écarts ln m(x,t) − a(x). Alternative : maximum de vraisemblance avec loi de Poisson sur les décès (Brouhns, Denuit, Vermunt), plus adaptée aux faibles effectifs.
Projection et limites: k(t) est modélisé par une marche aléatoire avec dérive (ARIMA(0,1,0)). Limites : un seul facteur, b(x) constant dans le temps, pas d'effet de cohorte. Extensions : Renshaw-Haberman (cohorte), Cairns-Blake-Dowd (âges élevés).

Conclusion

Lee-Carter résume la dynamique de la mortalité par un facteur temporel unique, ce qui le rend simple à estimer et à projeter, au prix de limites bien connues. Il reste la base de nombreuses études et références.

Pour l'actuaire, le point important est la quantification de l'incertitude : une projection de mortalité sans intervalle est incomplète.

Cartes

Quelle est l'équation de Lee-Carter ?: ln m(x,t) = a(x) + b(x)k(t) + ε(x,t).
Que représente a(x) ?: Le profil moyen de la mortalité par âge, en logarithme.
Que représente k(t) ?: Un indice temporel de mortalité : il baisse quand la mortalité baisse.
Que mesure b(x) ?: La sensibilité de la mortalité à l'âge x par rapport à l'indice k(t).
Quelles contraintes impose-t-on ?: Σ b(x) = 1 et Σ k(t) = 0.
Comment projette-t-on k(t) ?: Par une marche aléatoire avec dérive : k(t+1) = k(t) + θ + σZ.
Pourquoi la dérive θ est-elle négative ?: Parce que la mortalité a baissé de façon continue dans les pays développés.
Quelle est une limite majeure de Lee-Carter ?: Il ne capture pas les effets de cohorte et suppose un unique facteur de mortalité.
Citez deux extensions du modèle.: Renshaw-Haberman (avec effet de cohorte) et Cairns-Blake-Dowd (pour les âges élevés).

Glossaire

Taux central de mortalité: Rapport du nombre de décès à l'exposition au risque.
SVD: Décomposition en valeurs singulières d'une matrice, utilisée pour extraire le facteur principal.
Marche aléatoire avec dérive: Processus où l'incrément est constant plus un bruit.
Effet de cohorte: Influence propre à une génération de naissance sur la mortalité.
Risque de longévité: Risque que les assurés vivent plus longtemps que prévu.
Intervalle de prédiction: Plage où la valeur projetée se situera avec une probabilité donnée.