# Lois de mortalité de Gompertz et Makeham

Sciences actuarielles · Bachelor 3

> Lois paramétriques de mortalité : Gompertz, Makeham, survie, ajustement et limites.

## Introduction

Les lois de mortalité paramétriques décrivent la force de mortalité μ(x) par une formule simple. Gompertz (1825) a observé que la mortalité adulte croît à peu près exponentiellement avec l'âge : μ(x) = B·c^x. Makeham (1860) a ajouté une constante A qui représente une mortalité indépendante de l'âge, comme les accidents : μ(x) = A + B·c^x.

Ces lois servent à lisser des tables, à calculer des annuités et à faire des raisonnements analytiques. Elles s'ajustent bien entre 30 et 90 ans environ, mais pas à l'enfance ni aux très grands âges, où des modèles plus riches (Heligman-Pollard, Kannisto) sont utilisés.

## Objectifs d'apprentissage

- Écrire la force de mortalité de Gompertz et de Makeham
- Interpréter les paramètres A, B et c
- Déduire la fonction de survie
- Calculer une probabilité de survie simple
- Identifier les limites d'ajustement

## Concepts clés

- **Loi de Gompertz** : μ(x) = B·c^x avec B > 0 et c > 1. La force de mortalité est exponentielle en l'âge ; son logarithme est linéaire. La survie est s(x) = exp(−B(c^x − 1)/ln c).
- **Loi de Makeham** : μ(x) = A + B·c^x. A représente une composante de mortalité constante (accidents). La survie devient s(x) = exp(−A·x − B(c^x − 1)/ln c).
- **Interprétation des paramètres** : B fixe le niveau de la mortalité, c la vitesse de croissance avec l'âge. En lissage, on estime ces paramètres par moindres carrés ou maximum de vraisemblance.
- **Limites** : Aux jeunes âges, la mortalité infantile n'est pas capturée; aux très grands âges, la croissance exponentielle surestime la mortalité observée (plateau). On utilise alors Heligman-Pollard ou Kannisto.

## Conclusion

Gompertz et Makeham offrent une description simple de la mortalité adulte, utile pour comprendre la forme générale des tables et pour faire des calculs analytiques. Leurs limites montrent qu'un modèle ne vaut que sur le domaine pour lequel il est ajusté.

Ces lois restent un point de départ avant les modèles stochastiques comme Lee-Carter.

## Cartes

### Quelle est la loi de Gompertz ?

μ(x) = B·c^x : force de mortalité exponentielle en l'âge.

### Quelle est la loi de Makeham ?

μ(x) = A + B·c^x : Gompertz plus une constante.

### Que représente la constante A ?

Une mortalité indépendante de l'âge, par exemple les accidents.

### Que vaut la survie de Gompertz ?

s(x) = exp(−B(c^x − 1)/ln c).

### Que vaut la survie de Makeham ?

s(x) = exp(−A x − B(c^x − 1)/ln c).

### Quelle est la relation entre μ et survie ?

s(x) = exp(−∫0^x μ(u)du).

### Pourquoi ces lois échouent-elles aux grands âges ?

Elles prolongent une croissance exponentielle alors que la mortalité observée tend à plafonner.

### Que dit le log de μ(x) dans Gompertz ?

ln μ(x) = ln B + x·ln c, donc linéaire en x.

### Quelle loi est plus adaptée pour tout l'âge ?

Heligman-Pollard, qui combine enfance, bosse accidentelle et vieillesse.

## Glossaire

- **Force de mortalité** : Taux instantané de décès à l'âge x chez les survivants.
- **Fonction de survie** : Probabilité d'atteindre l'âge x.
- **Gompertz** : Loi de mortalité exponentielle en l'âge.
- **Makeham** : Généralisation de Gompertz avec une composante constante.
- **Lissage** : Ajustement d'une courbe régulière aux taux bruts.
- **Heligman-Pollard** : Modèle à huit paramètres décrivant la mortalité sur tout l'âge.

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