# Intervalles de confiance et tests d'hypothèses

Économie d'entreprise · Bachelor 2

> Intervalle de confiance d'une moyenne, test z, risques alpha et bêta, valeur p.

## Introduction

En gestion, on observe presque toujours un échantillon, pas la population entière : quelques centaines de clients, un lot de pièces contrôlées. L'inférence statistique permet de tirer de cet échantillon des conclusions sur la population, tout en quantifiant l'incertitude.

L'intervalle de confiance encadre la valeur inconnue d'un paramètre avec un niveau de confiance choisi. Le test d'hypothèses fournit une règle de décision : on conserve l'hypothèse nulle ou on la rejette, avec un risque d'erreur maîtrisé.

## Objectifs d'apprentissage

- Calculer un intervalle de confiance pour une moyenne
- Interpréter correctement un niveau de confiance
- Formuler les hypothèses nulle et alternative
- Distinguer erreurs de type I et de type II
- Interpréter une valeur p

## Concepts clés

- **Intervalle de confiance** : Pour une moyenne avec écart-type connu : x̄ ± z x σ / √n, où z vaut environ 1,96 pour 95 %.
- **Hypothèses H0 et H1** : H0 est l'hypothèse de statu quo, que l'on cherche à réfuter ; H1 est l'hypothèse alternative.
- **Erreurs de type I et II** : Type I (alpha) : rejeter H0 alors qu'elle est vraie. Type II (bêta) : ne pas la rejeter alors qu'elle est fausse.
- **Valeur p** : Probabilité d'obtenir un résultat au moins aussi extrême que celui observé si H0 est vraie.
- **Taille d'échantillon** : L'intervalle se resserre en 1 / √n : diviser la marge d'erreur par deux demande quatre fois plus de données.

## Conclusion

Intervalles de confiance et tests d'hypothèses sont deux faces d'une même logique : quantifier l'incertitude d'une estimation fondée sur un échantillon. Le niveau de confiance et le seuil alpha traduisent un compromis entre risque d'erreur et précision.

L'interprétation exige de la rigueur : une valeur p n'est pas la probabilité que H0 soit vraie, et une différence statistiquement significative n'est pas toujours importante en pratique.

## Cartes

### Que signifie un intervalle de confiance à 95 % ?

Si l'on répétait l'échantillonnage, environ 95 % des intervalles construits contiendraient la vraie valeur du paramètre.

### Quelle est la formule de l'intervalle de confiance d'une moyenne (σ connu) ?

x̄ ± z x σ / √n, avec z = 1,96 pour un niveau de 95 %.

### Calculez l'intervalle pour x̄ = 50, σ = 10, n = 100 à 95 %.

Marge = 1,96 x 10 / 10 = 1,96, soit [48,04 ; 51,96].

### Quel est l'effet d'une augmentation de l'échantillon sur la largeur de l'intervalle ?

La largeur diminue proportionnellement à 1 / √n : quatre fois plus de données divisent la marge par deux.

### Qu'est-ce que l'hypothèse nulle H0 ?

L'hypothèse de référence (pas d'effet, pas de différence) que le test cherche à réfuter.

### Définissez l'erreur de type I.

Rejeter H0 alors qu'elle est vraie ; sa probabilité maximale est le seuil alpha, souvent 5 %.

### Définissez l'erreur de type II.

Ne pas rejeter H0 alors qu'elle est fausse ; sa probabilité est bêta, et la puissance du test vaut 1 - bêta.

### Test de H0 : μ = 50 avec x̄ = 52, σ = 10, n = 100. Quelle est la statistique et la décision à 5 % ?

z = (52 - 50) / (10 / 10) = 2 ; |z| > 1,96, donc on rejette H0 (valeur p d'environ 0,046).

### Que signifie une valeur p de 0,03 ?

Si H0 était vraie, on observerait un résultat aussi extrême dans 3 % des cas ; on rejette H0 au seuil de 5 %.

## Glossaire

- **Échantillon** : Sous-ensemble de la population effectivement observé.
- **Estimateur** : Règle de calcul appliquée à l'échantillon pour estimer un paramètre.
- **Niveau de confiance** : Probabilité, avant tirage, que l'intervalle contienne le paramètre.
- **Seuil de signification** : Probabilité maximale d'erreur de type I acceptée.
- **Puissance d'un test** : Probabilité de rejeter H0 quand elle est fausse, soit 1 - bêta.
- **Test bilatéral** : Test où H1 prévoit un écart dans les deux sens.

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