Bornhuetter-Ferguson : combiner a priori et sinistralité observée

Sciences actuarielles · Master 1

Bornhuetter-Ferguson : ratio a priori, cadence de règlement, lien avec le chain-ladder.

Introduction

Le chain-ladder projette l'ultime à partir des seuls paiements observés. Pour une année de survenance récente, ces paiements sont peu nombreux et très volatils : multiplier un petit montant par un grand facteur de développement amplifie le bruit. La méthode de Bornhuetter-Ferguson (BF) répond à ce problème en ancrant l'estimation sur une information externe, le ratio de sinistres a priori.

Principe : la charge ultime est égale au montant déjà payé (ou encouru) plus la part encore à venir de la charge a priori. Cette part à venir vaut (1 - p) × prime × ratio a priori, où p est la proportion de la charge ultime déjà réglée selon la cadence de règlement. Les sinistres observés n'influencent donc que ce qui est déjà payé, pas la partie restant à développer.

BF se place ainsi entre deux extrêmes : l'estimation purement a priori (qui ignore les données) et le chain-ladder (qui leur fait entièrement confiance). C'est une méthode de crédibilité implicite, très employée pour les branches à développement long et pour les années récentes.

Objectifs d'apprentissage

Calculer une réserve IBNR par la méthode de Bornhuetter-Ferguson
Montrer que BF est une moyenne pondérée entre chain-ladder et estimation a priori
Choisir entre chain-ladder, BF et estimation a priori selon la maturité de l'année de survenance
Identifier les risques liés à un mauvais ratio a priori
Justifier une sélection de méthode devant un actuaire responsable

Concepts clés

Formule BF: Ultime = Payé + (1 - p) × Prime × Ratio a priori, avec p = 1 / facteur de développement cumulé. La réserve est (1 - p) × Prime × Ratio a priori.
Lien avec le chain-ladder: L'ultime BF s'écrit c × Ultime chain-ladder + (1 - c) × Ultime a priori, avec c = p : la crédibilité accordée aux données croît avec la maturité de l'année.
Ratio a priori: Ratio sinistres/primes attendu, issu de la tarification, des années antérieures ou du plan d'affaires. Son choix est le principal point de jugement de la méthode.
Cadence de règlement: Profil d'écoulement des paiements (ou de la charge) en pourcentage de l'ultime, estimé sur les triangles historiques.
Domaine d'application: Années récentes, branches à queue longue (responsabilité civile, accidents), portefeuilles à faible volume où le chain-ladder est instable.

Conclusion

BF constitue un compromis rationnel entre information interne et jugement externe : elle stabilise la réserve des années jeunes et converge vers le chain-ladder à maturité. Sa qualité dépend toutefois de la solidité de l'a priori et de la cadence, qu'il faut documenter et réviser chaque année.

En pratique, l'actuaire compare plusieurs méthodes, analyse les écarts et retient, année par année, celle qui convient le mieux. Cette sélection argumentée est au cœur du dossier de provisionnement.

Cartes

Quelle est la formule de l'ultime selon Bornhuetter-Ferguson ?: Ultime = montant déjà payé + (1 - p) × prime × ratio de sinistres a priori, où p est la proportion de l'ultime déjà réglée.
Que représente p dans la méthode BF ?: La cadence cumulée de règlement à la date d'évaluation, soit l'inverse du facteur de développement cumulé du chain-ladder.
Pourquoi BF est-elle moins volatile que le chain-ladder sur une année récente ?: Car la partie à venir est fondée sur la charge a priori et non sur l'extrapolation de paiements encore peu nombreux.
Exemple : prime 1000, ratio a priori 70 %, p = 40 %, payé 300. Quelle est la réserve BF ?: (1 - 0,4) × 1000 × 0,70 = 420. L'ultime BF vaut 300 + 420 = 720.
Dans le même exemple, quel est l'ultime chain-ladder ?: 300 / 0,40 = 750, soit une réserve de 450. BF (720) est tirée vers l'a priori (700).
Comment interpréter BF comme une pondération ?: Ultime BF = p × ultime chain-ladder + (1 - p) × ultime a priori : 0,4 × 750 + 0,6 × 700 = 720.
Quel est le principal risque de BF ?: Un ratio a priori biaisé : comme il pèse fortement sur les années jeunes, l'erreur se propage presque telle quelle dans la réserve.
Quand préférer le chain-ladder à BF ?: Pour les années matures, où p est proche de 1 et où les données observées sont fiables et abondantes.
Quelle différence entre BF et la méthode du ratio de sinistres attendu ?: La méthode du ratio attendu ignore tout paiement observé ; BF conserve les paiements déjà effectués et n'applique l'a priori qu'à la partie restante.

Glossaire

Ratio de sinistres a priori: Rapport attendu entre la charge ultime et les primes acquises d'une année de survenance, fixé avant observation des sinistres.
Cadence de règlement: Courbe donnant la part de l'ultime réglée à chaque âge de développement.
Facteur de développement cumulé: Produit des facteurs individuels reliant un montant à l'âge actuel au montant ultime.
Charge ultime: Coût total final d'une année de survenance, paiements passés et futurs.
IBNR: Provision pour sinistres survenus mais non encore (suffisamment) déclarés ou développés.
Crédibilité: Poids accordé aux données propres par rapport à une information externe.