Expected Shortfall et backtesting de la VaR

Finance & banque · Master 2

Expected Shortfall, cohérence des mesures de risque et backtesting à feux tricolores de Bâle.

Introduction

L'Expected Shortfall (ES), aussi appelée CVaR ou TVaR, est la perte moyenne conditionnelle à un dépassement de la VaR. Là où la VaR ne renseigne que sur le seuil, l'ES mesure la sévérité moyenne des pertes dans la queue. Artzner, Delbaen, Eber et Heath ont proposé en 1999 quatre axiomes (monotonie, invariance par translation, homogénéité positive, sous-additivité) définissant les mesures de risque cohérentes ; l'ES les respecte, la VaR non.

Le Comité de Bâle, dans la révision fondamentale du portefeuille de négociation (FRTB), a remplacé la VaR à 99 % par l'ES à 97,5 % pour le calcul du capital de marché dans l'approche des modèles internes. La VaR reste toutefois utilisée pour le backtesting, car l'ES est plus difficile à tester statistiquement.

Ce deck présente l'ES, les axiomes de cohérence et le backtesting de la VaR par comptage des exceptions, avec le test de Kupiec et le système de zones de Bâle.

Objectifs d'apprentissage

Définir l'ES et la calculer sur une distribution simple
Énoncer les axiomes d'une mesure de risque cohérente
Réaliser un backtesting de la VaR par comptage d'exceptions
Interpréter les zones verte, jaune et rouge de Bâle

Concepts clés

Expected Shortfall: ES_α = E[perte | perte ≥ VaR_α]. Pour une loi normale centrée de volatilité σ, ES_α = σ · φ(z_α) / (1 − α). L'ES est toujours supérieure ou égale à la VaR au même niveau.
Mesures cohérentes: Une mesure ρ est cohérente si elle est monotone, invariante par translation, positivement homogène et sous-additive. La sous-additivité traduit le bénéfice de la diversification : l'ES la respecte.
Backtesting par exceptions: On compare chaque jour la perte réalisée à la VaR prévue. Si le modèle est bon, le nombre d'exceptions suit une loi binomiale B(n, 1 − α). Le test de Kupiec (proportion de défaillances) teste si la fréquence observée est compatible avec 1 − α.
Zones de Bâle: Pour une VaR 99 % sur 250 jours : zone verte de 0 à 4 exceptions, jaune de 5 à 9 (multiplicateur de capital majoré), rouge à partir de 10 (modèle présumé défaillant).

Conclusion

L'Expected Shortfall répond à deux critiques majeures de la VaR : l'ignorance de la queue et l'absence de sous-additivité. Son adoption réglementaire montre que la gestion des risques évolue avec les enseignements des crises.

Le backtesting reste l'outil de discipline des modèles internes : un modèle n'a de valeur que s'il résiste à la confrontation avec les pertes réelles.

Cartes

Quelle est la définition de l'Expected Shortfall ?: La perte moyenne attendue sachant que la perte dépasse la VaR au niveau de confiance α.
Quel niveau de confiance retient FRTB pour l'ES ?: 97,5 %, calculé sur la queue de distribution (un niveau proche de celui d'une VaR à 99 % pour une loi normale).
Pourquoi l'ES est-elle dite cohérente ?: Parce qu'elle satisfait la monotonie, l'invariance par translation, l'homogénéité positive et la sous-additivité.
Quelle propriété manque à la VaR ?: La sous-additivité : VaR(A+B) peut dépasser VaR(A) + VaR(B).
Comment compte-t-on les exceptions lors d'un backtesting ?: Une exception survient lorsque la perte réelle (ou hypothétique) du jour dépasse la VaR prévue la veille pour ce jour.
Combien d'exceptions attend-on en moyenne pour une VaR 99 % sur 250 jours ?: 2,5 en moyenne (250 × 1 %).
Que représente la zone jaune de Bâle ?: Entre 5 et 9 exceptions sur 250 jours pour une VaR 99 % : le modèle est suspect et un facteur additionnel est ajouté au multiplicateur de capital.
Pourquoi l'ES est-elle moins facile à tester que la VaR ?: Elle n'est pas « élicitable » au sens strict : il n'existe pas de fonction de perte propre qui la caractérise seule ; son backtesting est donc plus délicat.
Un modèle trop optimiste génère-t-il trop ou trop peu d'exceptions ?: Trop d'exceptions : la VaR prévue est trop basse par rapport aux pertes réelles.

Glossaire

Expected Shortfall: Perte moyenne dans la queue de distribution au-delà de la VaR.
Mesure de risque cohérente: Mesure respectant monotonie, invariance par translation, homogénéité et sous-additivité.
Backtesting: Comparaison des prévisions de risque avec les pertes effectivement réalisées.
Test de Kupiec: Test du rapport de vraisemblance sur la proportion d'exceptions.
Zone verte: Plage de 0 à 4 exceptions sur 250 jours pour une VaR 99 %.
Multiplicateur de capital: Facteur appliqué à la VaR pour fixer l'exigence de fonds propres, majoré selon les exceptions.