# Value at Risk : trois méthodes de calcul

Finance & banque · Master 1

> VaR paramétrique, par simulation historique et Monte Carlo : calcul, hypothèses et limites.

## Introduction

La Value at Risk (VaR) résume en un montant la perte maximale qu'un portefeuille ne devrait pas dépasser sur un horizon donné, avec un niveau de confiance donné. Une VaR à 99 % sur 10 jours de 5 millions de CHF signifie que, dans 99 % des cas, la perte sur 10 jours devrait rester inférieure à 5 millions. Popularisée dans les années 1990 par la méthodologie RiskMetrics de J.P. Morgan, elle est devenue la mesure standard du risque de marché dans les banques.

Trois grandes approches coexistent : la méthode paramétrique (variance-covariance), qui suppose des rendements normaux ; la simulation historique, qui rejoue les variations passées ; et la simulation de Monte Carlo, qui génère des scénarios à partir d'un modèle stochastique. Chacune arbitre différemment entre simplicité, réalisme des queues de distribution et charge de calcul.

Ce deck compare ces méthodes et rappelle pourquoi la VaR, malgré sa popularité, ne dit rien de l'ampleur des pertes au-delà du seuil.

## Objectifs d'apprentissage

- Définir la VaR et interpréter un niveau de confiance et un horizon
- Calculer une VaR paramétrique pour un actif ou un portefeuille
- Décrire la simulation historique et la simulation de Monte Carlo
- Identifier les limites de la VaR

## Concepts clés

- **Définition** : VaR(α, h) est le quantile de la distribution des pertes sur l'horizon h tel que la probabilité de dépasser ce seuil vaut 1 − α. C'est un quantile, pas une perte maximale absolue.
- **VaR paramétrique** : Pour des rendements normaux, VaR = z_α · σ · √h · V (z = 1,645 à 95 %, 2,326 à 99 %). Pour un portefeuille, σ vient de la matrice de variance-covariance : σp² = wᵀΣw. Rapide, mais mal adaptée aux produits non linéaires comme les options.
- **Simulation historique** : On applique au portefeuille actuel les variations de prix observées sur une fenêtre (par exemple 500 jours) et on lit le quantile empirique. Pas d'hypothèse de normalité, mais dépend entièrement du passé choisi.
- **Monte Carlo** : On simule un grand nombre de trajectoires des facteurs de risque à partir d'un modèle, on réévalue le portefeuille et on prend le quantile. Flexible (produits non linéaires) mais coûteux et dépendant du modèle.

## Conclusion

La VaR offre un langage commun pour agréger et comparer les risques de marché, mais son calcul repose sur des choix de méthode, de fenêtre et de niveau de confiance qui influencent fortement le résultat. Aucune des trois approches n'est universellement supérieure.

Ses limites, notamment l'aveuglement aux pertes au-delà du seuil, expliquent l'évolution réglementaire vers l'Expected Shortfall et l'importance des tests de résistance (stress tests) en complément.

## Cartes

### Que mesure une VaR à 99 % sur 1 jour ?

La perte qui ne devrait être dépassée que dans 1 % des cas sur un jour, soit environ 2 à 3 jours par an.

### Quel quantile de la loi normale utilise-t-on pour une VaR à 99 % ?

z = 2,326 (et 1,645 pour 95 %).

### Comment passe-t-on d'une VaR 1 jour à une VaR 10 jours sous l'hypothèse de rendements i.i.d. ?

On multiplie par la racine carrée du temps : VaR(10 j) = VaR(1 j) · √10.

### Quel est l'avantage principal de la simulation historique ?

Elle ne suppose aucune loi de distribution et capte naturellement les queues épaisses et les corrélations observées.

### Quel est son inconvénient majeur ?

Elle suppose que le passé récent est représentatif du futur ; une période calme sous-estime le risque, et la fenêtre choisie influe fortement sur le résultat.

### Pourquoi la méthode paramétrique est-elle inadaptée pour un portefeuille d'options ?

Le payoff d'une option est non linéaire en le sous-jacent : l'approximation linéaire par le delta ignore le gamma et sous-estime le risque pour de grands mouvements.

### Qu'est-ce que la propriété de sous-additivité et la VaR la respecte-t-elle ?

Une mesure est sous-additive si le risque d'un portefeuille combiné est inférieur ou égal à la somme des risques. La VaR ne la respecte pas toujours, donc elle peut décourager la diversification.

### Que ne dit pas la VaR ?

L'ampleur des pertes au-delà du seuil : deux portefeuilles de même VaR peuvent avoir des pertes extrêmes très différentes.

### Comment la VaR sert-elle dans la réglementation bancaire ?

Dans l'approche des modèles internes de Bâle II.5, le capital de marché était fondé sur une VaR à 99 % sur 10 jours (avec un multiplicateur) ; Bâle III révisé (FRTB) passe à l'Expected Shortfall.

## Glossaire

- **Value at Risk** : Quantile de perte pour un horizon et un niveau de confiance donnés.
- **Niveau de confiance** : Probabilité α avec laquelle la perte reste sous la VaR.
- **Matrice de variance-covariance** : Matrice des variances et covariances des rendements des facteurs de risque.
- **Simulation historique** : Méthode utilisant les variations passées observées pour construire la distribution des pertes.
- **Simulation de Monte Carlo** : Génération aléatoire de scénarios à partir d'un modèle stochastique.
- **Sous-additivité** : Propriété selon laquelle le risque d'un ensemble ne dépasse pas la somme des risques.

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