# Évaluation des obligations : prix, duration, convexité

Finance & banque · Bachelor 3

> Prix d'une obligation, rendement actuariel, duration de Macaulay, duration modifiée et convexité.

## Introduction

Une obligation à taux fixe est un ensemble de flux certains (coupons et remboursement du nominal) dont le prix est la somme actualisée au rendement exigé par le marché. Plus le taux monte, plus le prix baisse : la relation est inverse et convexe.

La duration, introduite par Frederick Macaulay (1938), est la durée de vie moyenne pondérée des flux ; la duration modifiée mesure la variation relative du prix pour une variation du rendement. La convexité corrige l'approximation linéaire pour les mouvements importants de taux.

Ces outils sont essentiels pour la gestion du risque de taux dans les banques, assurances et caisses de pension suisses, notamment pour apparier les durations de l'actif et du passif (immunisation).

## Objectifs d'apprentissage

- Calculer le prix d'une obligation par actualisation
- Distinguer rendement courant, nominal et rendement à l'échéance
- Calculer la duration de Macaulay et la duration modifiée
- Estimer la variation de prix avec duration et convexité
- Expliquer l'immunisation d'un passif

## Concepts clés

- **Prix d'une obligation** : P = somme de C/(1+y)^t + N/(1+y)^T. Au pair si y = taux de coupon ; sous le pair si y > coupon ; au-dessus du pair si y < coupon. Le prix converge vers le nominal à l'échéance.
- **Duration et sensibilité** : Duration de Macaulay D = somme de t x VA(CF_t) / P. Duration modifiée D_mod = D / (1 + y). Approximation : variation de P en % ≈ -D_mod x variation de y. Plus la duration est élevée, plus le prix est sensible aux taux.
- **Convexité** : La relation prix-rendement est convexe ; la duration seule sous-estime le prix réel dans les deux sens : elle sous-estime la hausse de prix après une baisse de taux et surestime la perte après une hausse importante. Variation de P en % ≈ -D_mod x dy + 1/2 x convexité x dy^2. À duration égale, une convexité plus élevée est préférable.

## Conclusion

Le prix d'une obligation découle de l'actualisation de ses flux ; duration et convexité en résument la sensibilité aux taux. Ces notions structurent la gestion du risque de taux dans toutes les institutions financières.

Utilisez toujours la duration avec prudence : elle suppose des déplacements parallèles de la courbe et de petites variations.

## Cartes

### Comment calcule-t-on le prix d'une obligation ?

En actualisant les coupons et le nominal au rendement à l'échéance y : P = somme C/(1+y)^t + N/(1+y)^T.

### Une obligation de coupon 3 % se négocie à rendement 4 %. Est-elle au-dessus ou en dessous du pair ?

En dessous du pair, car le rendement exigé dépasse le taux de coupon.

### Que devient le prix lorsque les taux montent ?

Il baisse : relation inverse entre prix et rendement.

### Qu'est-ce que le rendement à l'échéance ?

Le taux qui égalise la valeur actuelle des flux restants au prix de marché de l'obligation.

### Que mesure la duration de Macaulay ?

La durée moyenne pondérée des flux, les poids étant leur valeur actuelle rapportée au prix ; elle s'exprime en années.

### Quelle est la duration d'une obligation zéro-coupon ?

Égale à son échéance, car il n'y a qu'un seul flux final.

### Comment passe-t-on de la duration de Macaulay à la duration modifiée ?

D_mod = D / (1 + y), avec y le rendement à l'échéance (annuel).

### Une obligation a D_mod = 5. De combien varie son prix si le rendement augmente de 1 point ?

Environ -5 % (première approximation, avant correction de convexité).

### Pourquoi une convexité élevée est-elle avantageuse ?

Elle atténue les baisses de prix lorsque les taux montent et amplifie les hausses lorsqu'ils baissent, à rendement égal.

### Qu'est-ce que l'immunisation ?

Une stratégie qui égalise la duration de l'actif et du passif pour protéger la valeur nette contre de petits mouvements parallèles de taux.

## Glossaire

- **Coupon** : Intérêt périodique versé par une obligation, exprimé en pourcentage du nominal.
- **Valeur nominale** : Montant remboursé à l'échéance, base de calcul des coupons.
- **Rendement à l'échéance** : Taux actuariel d'une obligation conservée jusqu'à son échéance.
- **Duration modifiée** : Sensibilité relative du prix à une variation du rendement.
- **Convexité** : Courbure de la relation prix-rendement, mesurant la variation de la duration avec les taux.
- **Risque de taux** : Risque de variation de valeur d'un titre lié aux mouvements des taux d'intérêt.
- **Immunisation** : Technique d'appariement de durations de l'actif et du passif.

https://ruvy.ch/decks/-P5CV2T1GCMbGEnApR79