# Tables de mortalité : construction et lecture Sciences actuarielles · Bachelor 3 > Fonction de survie, lx, dx, qx, espérance de vie et lecture des tables suisses. ## Introduction La table de mortalité est l'instrument de base de l'actuaire vie. Elle résume, pour une cohorte fictive de départ (le radix, souvent l0 = 100 000 naissances), le nombre de survivants lx à chaque âge x. Toutes les primes d'assurance décès, les rentes viagères et les engagements de prévoyance reposent sur les probabilités qu'elle fournit. On distingue la fonction de survie S(x) = P(X > x), la probabilité de décès qx entre x et x+1, la probabilité de survie px = 1 - qx, la probabilité de survie sur k années kpx = l(x+k)/lx et la force de mortalité μx. Les tables sont soit des tables du moment (construites sur une période d'observation courte), soit des tables de générations (prenant en compte l'amélioration de la mortalité au fil du temps), ces dernières étant indispensables pour les rentes viagères en raison du risque de longévité. En Suisse, l'Office fédéral de la statistique (OFS) publie les tables de mortalité de la population résidante, tandis que les caisses de pension utilisent des bases techniques spécifiques à leurs assurés, car la mortalité d'un collectif assuré diffère de celle de la population générale. ## Objectifs d'apprentissage - Définir lx, dx, qx, px et kpx et passer de l'un à l'autre - Calculer une probabilité de survie ou de décès sur plusieurs années à partir d'une table - Estimer une espérance de vie abrégée et expliquer la différence entre espérance de vie à la naissance et à l'âge x - Distinguer table du moment, table de générations et table d'expérience - Expliquer pourquoi la mortalité des assurés diffère de celle de la population générale ## Concepts clés - **Fonction de survie et force de mortalité** : La fonction de survie S(x) donne la probabilité de vivre au-delà de l'âge x. La force de mortalité μx = -S'(x)/S(x) mesure le taux instantané de décès parmi les survivants à l'âge x. On a S(x) = exp(-∫ μ(u) du) : connaître μ revient à connaître toute la loi de la durée de vie. - **Colonnes lx, dx, qx** : lx est le nombre de survivants à l'âge x dans la cohorte de départ ; dx = lx - l(x+1) est le nombre de décès entre x et x+1 ; qx = dx/lx est la probabilité conditionnelle de décéder dans l'année pour une personne vivante à l'âge x. Ces trois colonnes se déduisent les unes des autres. - **Probabilités sur plusieurs années** : La probabilité qu'une personne d'âge x survive k années est kpx = l(x+k)/lx. La probabilité de décéder entre les âges x+k et x+k+1 (décès différé) est k|qx = d(x+k)/lx. La somme des k|qx sur tous les k vaut 1. - **Espérance de vie** : L'espérance de vie complète à l'âge x est l'intégrale des kpx pour k de 0 à l'infini ; l'espérance abrégée ex = Σ kpx (k ≥ 1) en est l'approximation discrète, à laquelle on ajoute environ 1/2 pour retrouver l'espérance complète. Elle augmente avec l'âge atteint car les décès précoces sont exclus. - **Table du moment, de générations et d'expérience** : Une table du moment décrit la mortalité observée sur une courte période. Une table de générations projette l'évolution future de la mortalité pour chaque année de naissance et est essentielle pour les rentes. Une table d'expérience est calibrée sur le portefeuille de l'assureur ou de la caisse de pension. ## Conclusion La table de mortalité traduit en nombres exploitables l'incertitude sur la durée de vie. Savoir passer de lx à qx, kpx ou k|qx est le préalable à tout calcul de prime, de rente ou de réserve. L'actuaire doit aussi juger de la pertinence d'une table : population générale ou collectif assuré, table du moment ou de générations. Ce choix détermine directement le niveau de prudence des engagements. ## Cartes ### Que représente lx dans une table de mortalité ? Le nombre de survivants à l'âge x dans une cohorte fictive de départ (radix l0, souvent 100 000). ### Comment calcule-t-on qx à partir de la table ? qx = dx / lx = (lx - l(x+1)) / lx : probabilité de décéder avant l'âge x+1 pour une personne vivante à l'âge x. ### Quelle est la relation entre px et qx ? px = 1 - qx = l(x+1)/lx : probabilité de survivre une année pour une personne d'âge x. ### Comment s'écrit kpx ? kpx = l(x+k)/lx, probabilité de survivre k années ; c'est aussi le produit p(x) p(x+1) ... p(x+k-1). ### Que mesure la force de mortalité μx ? Le taux instantané de décès à l'âge x parmi les survivants : μx = -S'(x)/S(x) = -d/dx ln S(x). ### Que dit la loi de Gompertz ? μx = B·c^x : la force de mortalité croît exponentiellement avec l'âge, ce qui décrit bien la mortalité adulte. ### Quelle différence entre table du moment et table de générations ? La table du moment fige la mortalité d'une période ; la table de générations intègre l'amélioration future de la mortalité et dépend de l'année de naissance. ### Pourquoi les caisses de pension n'utilisent-elles pas simplement la table de la population ? La mortalité des assurés diffère de celle de la population générale (sélection, niveau de revenu, effet du travailleur sain) : on utilise des bases techniques propres au collectif. ### Que vaut la somme des k|qx pour k ≥ 0 ? 1 : tout individu décède à un âge ultérieur ; k|qx = d(x+k)/lx est la probabilité d'un décès différé dans l'année k. ### Pourquoi l'âge moyen au décès d'une personne de 65 ans dépasse-t-il l'espérance de vie à la naissance ? Parce que les personnes ayant survécu jusqu'à 65 ans ont échappé aux décès précoces : l'espérance conditionnelle à la survie est plus élevée. ## Glossaire - **Radix** : Effectif initial l0 de la cohorte fictive d'une table de mortalité. - **Force de mortalité** : Taux instantané de décès μx à l'âge x parmi les survivants. - **Probabilité de décès différé** : k|qx : probabilité de survivre k ans puis de décéder dans l'année suivante. - **Espérance de vie abrégée** : Somme des kpx pour k ≥ 1, nombre moyen d'années entières vécues. - **Table de générations** : Table de mortalité tenant compte de l'amélioration future de la mortalité selon l'année de naissance. - **Table d'expérience** : Table calibrée sur la mortalité observée du portefeuille d'un assureur ou d'une caisse de pension. https://ruvy.ch/decks/-P5CTeQDw53FCzLSQLDk