Réserve mathématique : prospective, rétrospective, Thiele

Sciences actuarielles · Master 2

Réserve mathématique en assurance vie : méthodes prospective et rétrospective, Zillmer, Thiele.

Introduction

En assurance vie, les primes sont souvent nivelées alors que le risque de décès croît avec l'âge : l'assureur perçoit donc plus que le risque couru durant les premières années, et constitue une réserve mathématique pour couvrir les engagements futurs. Cette réserve est le principal poste du passif d'un assureur vie.

La méthode prospective définit la réserve à l'instant t comme la différence entre la valeur actuelle actuarielle des prestations futures et celle des primes futures : tV = A(x+t) - P·ä(x+t) pour une vie entière. La méthode rétrospective calcule l'accumulation des primes passées moins le coût des prestations déjà supportées ; sur les mêmes bases techniques, les deux méthodes coïncident.

L'évolution de la réserve dans le temps est décrite par l'équation différentielle de Thiele : dV/dt = δ·V + P - μ(x+t)·(S - V), où S est le capital assuré, δ la force d'intérêt et S - V le capital sous risque. Pour tenir compte des frais d'acquisition, on utilise la réserve de Zillmer, qui amortit ces frais sur la durée du contrat, ce qui limite la valeur de rachat durant les premières années.

Objectifs d'apprentissage

Calculer une réserve par la méthode prospective
Montrer l'équivalence des méthodes prospective et rétrospective
Interpréter chaque terme de l'équation de Thiele
Expliquer le principe de la réserve de Zillmer et son effet sur la valeur de rachat
Distinguer réserve mathématique, capital sous risque et valeur de rachat

Concepts clés

Méthode prospective: tV = VAP des prestations futures - VAP des primes futures, évaluées avec les bases techniques en vigueur. Pour une vie entière de capital 1 : tV = A(x+t) - Px·ä(x+t). C'est la méthode retenue pour le calcul comptable des provisions.
Méthode rétrospective: La réserve est égale à la valeur accumulée des primes perçues, avec intérêts et mutualisation, moins la valeur accumulée des prestations servies. Avec une prime pure calculée selon le principe d'équivalence, elle donne le même résultat que la méthode prospective.
Capital sous risque: C'est S - V : la part du capital qui n'est pas déjà couverte par la réserve. Le coût du risque de décès de l'année s'applique à ce montant, et non au capital total.
Équation de Thiele: dV/dt = δ·V + P - μ(x+t)·(S - V). La réserve croît par les intérêts sur la réserve et par les primes, et décroît du coût de la mortalité sur le capital sous risque. Elle permet de calculer V numériquement par différences finies.
Réserve Zillmer et valeur de rachat: Les frais d'acquisition (commissions, frais de dossier) sont avancés par l'assureur au début du contrat. La réserve Zillmer les déduit puis les amortit sur la durée du contrat. La valeur de rachat, inférieure ou égale à la réserve, intègre aussi des retenues pour frais.

Conclusion

La réserve mathématique rend visible le lien entre tarification et solvabilité : une prime nivelée n'est viable que si la différence avec le risque courant est capitalisée.

Thiele fournit le cadre dynamique ; Zillmer et la valeur de rachat rappellent que la théorie doit composer avec les frais et le comportement des preneurs.

Cartes

Quelle est la formule prospective de la réserve ?: tV = VAP des prestations futures - VAP des primes futures (bases techniques fixées).
Pour une vie entière de capital 1, que vaut tV ?: tV = A(x+t) - Px · ä(x+t), avec Px la prime annuelle constante.
Pourquoi constitue-t-on une réserve mathématique ?: Les primes nivelées dépassent le risque couru au début alors que la mortalité augmente avec l'âge : l'excédent est mis en réserve.
Que vaut 0V sur la base d'une prime pure ?: 0 : à la souscription, VAP des primes = VAP des prestations (principe d'équivalence).
Que vaut nV pour un contrat mixte de n années ?: 1 (le capital est dû) : à l'échéance, la réserve égale le capital versé.
Qu'est-ce que le capital sous risque ?: S - V : capital assuré moins réserve déjà constituée ; c'est la base du coût de mortalité de l'année.
Que dit l'équation de Thiele ?: dV/dt = δV + P - μ(x+t)(S - V) : intérêts + prime - coût du risque de décès.
Pourquoi utilise-t-on une réserve Zillmer ?: Pour amortir les frais d'acquisition sur la durée du contrat au lieu de les exposer au début.
Une valeur de rachat peut-elle dépasser la réserve mathématique ?: En principe non : elle est égale ou inférieure à la réserve (retenues pour frais, rachat anticipé).
Pourquoi les méthodes prospective et rétrospective sont-elles équivalentes ?: Parce que la prime pure équilibre prestations et primes sur toute la durée : le déficit futur égale l'excédent déjà accumulé.

Glossaire

Réserve mathématique: Provision au passif de l'assureur vie égale à l'écart entre la valeur actuelle des prestations futures et celle des primes futures.
Capital sous risque: Capital assuré diminué de la réserve ; sert au calcul du coût de la mortalité.
Équation de Thiele: Équation différentielle décrivant l'évolution de la réserve dans le temps.
Réserve Zillmer: Réserve calculée en défalquant et amortissant les frais d'acquisition.
Valeur de rachat: Montant versé au preneur qui résilie un contrat d'assurance vie avant l'échéance.
Contrat libéré: Contrat dont on cesse les primes, la prestation étant réduite en fonction de la réserve acquise.