Annuités viagères, primes pures et commutation

Sciences actuarielles · Master 1

Valeurs actuelles d'assurances et de rentes viagères, primes pures, symboles de commutation.

Introduction

La tarification en assurance vie repose sur le principe d'équivalence : à la souscription, la valeur actuelle actuarielle des primes futures doit égaler celle des prestations futures. Les deux briques de calcul sont l'assurance en cas de décès, qui verse un capital, et l'annuité viagère, qui verse une suite de paiements tant que l'assuré vit.

Avec v = 1/(1+i) le facteur d'actualisation au taux technique i et d = i/(1+i) le taux d'escompte, la valeur actuelle d'un capital unitaire payable à la fin de l'année du décès est Ax = Σ v^(k+1) k|qx, tandis que celle d'une annuité viagère payable d'avance est äx = Σ v^k kpx. Les deux sont reliées par la relation fondamentale Ax = 1 - d·äx.

Avant l'informatique, les symboles de commutation Dx = v^x lx, Nx = Σ D(x+k), Cx = v^(x+1) dx et Mx = Σ C(x+k) permettaient de tabuler ces valeurs : äx = Nx/Dx et Ax = Mx/Dx. Ils restent utiles pour comprendre la structure des formules et pour les examens.

Objectifs d'apprentissage

Écrire la valeur actuelle actuarielle d'un capital décès et d'une rente viagère
Appliquer le principe d'équivalence pour déterminer une prime pure unique ou annuelle
Utiliser la relation Ax = 1 - d·äx
Exprimer ces valeurs à l'aide des symboles de commutation
Interpréter l'effet du taux technique sur le niveau de la prime

Concepts clés

Principe d'équivalence: La prime pure est fixée de sorte que la valeur actuelle actuarielle des primes égale celle des prestations (sans frais ni marge). La prime commerciale s'obtient en ajoutant les chargements pour frais, la sécurité et le bénéfice.
Assurance en cas de décès: Un capital 1 payé à la fin de l'année du décès a pour valeur actuelle actuarielle Ax = Σ_{k≥0} v^(k+1) · k|qx. Pour une assurance temporaire de n années, la somme s'arrête à k = n-1.
Annuité viagère: Une rente de 1 par an payée d'avance tant que l'assuré vit vaut äx = Σ_{k≥0} v^k · kpx. Payée à terme, elle vaut ax = äx - 1. Le niveau de äx dépend fortement du taux technique et de la longévité.
Relation Ax = 1 - d·äx: Elle exprime qu'une assurance vie entière peut se lire comme un prêt de 1 dont on ne paie que les intérêts d'avance tant que l'assuré vit. Elle évite de calculer deux sommes indépendantes.
Prime annuelle et commutation: La prime pure annuelle d'une vie entière est Px = Ax/äx. Avec les symboles de commutation, Px = Mx/Nx, ce qui permet de lire la prime directement dans des tables auxiliaires.

Conclusion

Capitaux décès et rentes viagères sont les deux pôles de l'assurance vie, reliés par Ax = 1 - d·äx. Le principe d'équivalence transforme cette algèbre en prime pure.

La sensibilité au taux technique et à la table de mortalité montre que la tarification est une décision de prudence autant qu'un calcul.

Cartes

Qu'énonce le principe d'équivalence ?: À la souscription, valeur actuelle actuarielle des primes = valeur actuelle actuarielle des prestations (prime pure, hors frais).
Comment s'écrit Ax ?: Ax = Σ_{k≥0} v^(k+1) · k|qx : capital 1 payé en fin d'année de décès.
Comment s'écrit äx ?: äx = Σ_{k≥0} v^k · kpx : rente de 1 payée d'avance tant que l'assuré est vivant.
Quelle est la relation entre Ax et äx ?: Ax = 1 - d·äx, avec d = i/(1+i) le taux d'escompte.
Quel lien entre ax et äx ?: ax = äx - 1 : la rente payée à terme perd le premier versement immédiat.
Que valent Dx et Nx ?: Dx = v^x · lx et Nx = Σ_{k≥0} D(x+k), de sorte que äx = Nx/Dx.
Que valent Cx et Mx ?: Cx = v^(x+1) · dx et Mx = Σ_{k≥0} C(x+k), de sorte que Ax = Mx/Dx.
Comment calcule-t-on la prime annuelle d'une vie entière ?: Px = Ax / äx (primes payées d'avance tant que l'assuré vit) = Mx / Nx.
Quel est l'effet d'une baisse du taux technique sur äx ?: äx augmente : les paiements futurs sont moins actualisés. La rente devient plus chère à financer.
Quelle est la valeur d'une annuité certaine de n années payée d'avance ?: ä_n = (1 - v^n)/d, indépendante de la mortalité.

Glossaire

Taux technique: Taux d'intérêt utilisé pour actualiser les engagements dans le calcul des primes et des provisions.
Prime pure: Prime égalisant valeur actuelle des primes et des prestations, sans chargement.
Taux d'escompte: d = i/(1+i) = 1 - v ; intérêt payé d'avance.
Assurance temporaire: Contrat versant un capital seulement si le décès survient pendant n années.
Symbole de commutation: Fonction auxiliaire (Dx, Nx, Cx, Mx) combinant actualisation et survie pour tabuler les valeurs actuarielles.
Assurance mixte: Capital versé au décès ou à l'échéance si l'assuré est vivant.