Théorie de la ruine : Cramér-Lundberg

Sciences actuarielles · Master 2

Processus de réserve, condition de profit net, coefficient d'ajustement et inégalité de Lundberg.

Introduction

La théorie de la ruine étudie la probabilité qu'une réserve d'assureur devienne négative dans le temps. Dans le modèle de Cramér-Lundberg, la réserve est U(t) = u + c·t - S(t), où u est le capital initial, c le taux de prime par unité de temps et S(t) un Poisson composé de paramètre λ avec sinistres de moyenne μ.

Une condition nécessaire à la viabilité est la condition de profit net : c > λμ, c'est-à-dire c = (1 + θ)λμ avec un chargement de sécurité θ > 0. Sans cette condition, la ruine est certaine. La probabilité de ruine ψ(u) est une fonction décroissante du capital initial u, et ψ(0) = 1/(1 + θ).

Le coefficient d'ajustement (ou de Lundberg) R > 0 est la solution de λ(M_Y(r) - 1) = c·r, où M_Y est la fonction génératrice des moments du sinistre. L'inégalité de Lundberg donne ψ(u) ≤ e^{-Ru}. Pour des sinistres de loi exponentielle de moyenne μ, la formule est exacte : ψ(u) = (1/(1+θ))·exp(-θu/((1+θ)μ)).

Objectifs d'apprentissage

Écrire le processus de réserve de Cramér-Lundberg et la condition de profit net
Interpréter le chargement de sécurité θ
Déterminer le coefficient d'ajustement dans un cas simple
Appliquer l'inégalité de Lundberg pour majorer la probabilité de ruine
Calculer la probabilité de ruine exacte pour des sinistres exponentiels

Concepts clés

Processus de réserve: U(t) = u + c·t - S(t). Les primes arrivent à un taux constant c ; les sinistres arrivent selon un processus de Poisson d'intensité λ avec des montants Y i.i.d. La ruine survient lorsque U(t) < 0 pour un t ≥ 0.
Condition de profit net: c > λE[Y]. Le chargement relatif est θ = c/(λμ) - 1. Si θ ≤ 0, la ruine est certaine avec le temps ; si θ > 0, elle n'est pas certaine mais reste possible.
Probabilité de ruine: ψ(u) = P(ruine | U(0) = u) est décroissante en u. Pour tout modèle à profit net, ψ(0) = λμ/c = 1/(1+θ).
Coefficient d'ajustement: R > 0 vérifie λ(M_Y(R) - 1) = c·R. Il augmente avec le chargement θ et diminue lorsque la queue des sinistres est plus lourde. S'il n'existe pas (sinistres à queue très lourde), l'inégalité de Lundberg ne s'applique pas.
Inégalité de Lundberg et cas exponentiel: ψ(u) ≤ e^{-Ru}. Si Y ~ Exp de moyenne μ, R = θ/((1+θ)μ) et ψ(u) = (1/(1+θ))·e^{-Ru} : la borne est exacte à un facteur près.

Conclusion

Le modèle de Cramér-Lundberg relie capital initial, chargement et queue des sinistres. La borne de Lundberg quantifie le bénéfice d'un surcroît de capital ou de prime.

Ses hypothèses sont stylisées, mais il structure la réflexion sur les marges, la réassurance et la solvabilité.

Cartes

Comment s'écrit le processus de réserve ?: U(t) = u + c·t - S(t).
Qu'est-ce que la condition de profit net ?: c > λE[Y] : les primes dépassent le coût moyen des sinistres par unité de temps.
Que vaut le chargement θ ?: θ = c/(λμ) - 1, avec μ = E[Y].
Que vaut ψ(0) ?: ψ(0) = 1/(1+θ), pour tout modèle de Cramér-Lundberg à profit net.
Qu'exprime l'inégalité de Lundberg ?: ψ(u) ≤ e^{-Ru}, majoration exponentielle de la ruine.
Comment définit-on R ?: Par l'équation λ(M_Y(R) - 1) = c·R, avec R > 0.
Que vaut ψ(u) pour des sinistres exponentiels ?: ψ(u) = (1/(1+θ))·exp(-θu/((1+θ)μ)).
Comment varie ψ(u) avec u ?: Elle décroît : plus le capital initial est élevé, plus la probabilité de ruine est faible.
Que faire si θ ≤ 0 ?: La ruine est certaine à long terme : aucune réserve initiale ne suffit.
Quel effet a une queue de sinistres plus lourde sur R ?: R diminue, donc la borne de Lundberg est moins forte.

Glossaire

Probabilité de ruine: Probabilité que la réserve devienne négative à un instant.
Chargement de sécurité: Majoration relative θ de la prime par rapport au coût moyen des sinistres.
Coefficient d'ajustement: Solution positive R de l'équation de Lundberg.
Fonction génératrice des moments: M_Y(r) = E[e^{rY}], utilisée pour calculer R.
Processus de Poisson: Processus de comptage des sinistres à intensité constante λ.
Capital initial: Réserve u dont dispose l'assureur au début du processus.