Modèles individuel et collectif, récursion de Panjer

Sciences actuarielles · Bachelor 3

Charge totale de sinistres : modèles individuel et collectif, Poisson composé, Panjer.

Introduction

La théorie du risque étudie la loi de la charge totale de sinistres S d'un portefeuille. Deux représentations existent. Dans le modèle individuel, S = X1 + ... + Xn est la somme des charges de n polices supposées indépendantes, chacune pouvant être nulle avec une forte probabilité. Dans le modèle collectif, S = Y1 + ... + YN est la somme d'un nombre aléatoire N de sinistres de montants Yi indépendants et identiquement distribués, eux-mêmes indépendants de N.

Pour le modèle collectif, E[S] = E[N]·E[Y] et Var(S) = E[N]·Var(Y) + Var(N)·E[Y]². Dans le cas Poisson composé de paramètre λ, ces formules deviennent E[S] = λE[Y] et Var(S) = λE[Y²]. La somme de Poisson composés indépendants reste Poisson composée, ce qui facilite l'agrégation de portefeuilles.

Pour calculer la loi complète de S, la récursion de Panjer est applicable lorsque la loi de N appartient à la classe (a,b,0) (Poisson, binomiale, binomiale négative) et que les sinistres sont discrets : elle évite la convolution directe.

Objectifs d'apprentissage

Distinguer les modèles individuel et collectif et savoir quand les utiliser
Calculer l'espérance et la variance de S dans le modèle collectif
Reconnaître les propriétés du Poisson composé
Énoncer la récursion de Panjer et ses conditions
Interpréter la variance comme mesure de dispersion et base d'un chargement

Concepts clés

Modèle individuel: Chaque police i génère une charge Xi (souvent nulle avec probabilité élevée). S = ΣXi, avec indépendance : E[S] = ΣE[Xi], Var(S) = ΣVar(Xi). Utile pour des portefeuilles de petite taille ou hétérogènes (assurance vie temporaire).
Modèle collectif: S = Y1 + ... + YN avec N le nombre de sinistres et Yi les montants i.i.d. indépendants de N. Il décrit directement fréquence et sévérité et s'applique bien à l'assurance dommages.
Espérance et variance du modèle collectif: E[S] = E[N]·E[Y]. Var(S) = E[N]·Var(Y) + Var(N)·(E[Y])². La variance a deux sources : la variabilité des montants et celle du nombre de sinistres.
Poisson composé: Si N ~ Poisson(λ), E[S] = λE[Y] et Var(S) = λE[Y²]. La somme de variables indépendantes Poisson composées de même loi de sinistre est Poisson composée de paramètre λ1 + λ2, ce qui permet de fusionner des portefeuilles.
Récursion de Panjer: Si P(N = k) = (a + b/k)·P(N = k-1) pour k ≥ 1 et si Y prend des valeurs entières positives de probabilités fj, alors gs = Σ_{j=1}^{s} (a + b·j/s)·fj·g(s-j), avec g0 donné par la loi de N. On obtient ainsi la loi de S sans convolution directe.

Conclusion

Les modèles individuel et collectif donnent deux manières cohérentes de décrire la charge totale. Le Poisson composé offre une algèbre simple, la récursion de Panjer un outil numérique exact.

Ces lois sont l'entrée des mesures de risque, de la réassurance et de la théorie de la ruine.

Cartes

Qu'est-ce que le modèle individuel ?: S = X1 + ... + Xn : somme des charges de n polices indépendantes.
Qu'est-ce que le modèle collectif ?: S = Y1 + ... + YN : nombre aléatoire N de sinistres de montants Yi i.i.d., indépendants de N.
Que vaut E[S] dans le modèle collectif ?: E[N]·E[Y].
Que vaut Var(S) dans le modèle collectif ?: E[N]·Var(Y) + Var(N)·E[Y]².
Que vaut Var(S) pour un Poisson composé ?: λ·E[Y²] (E[Y²] est le moment d'ordre 2 du montant d'un sinistre).
Quelle propriété de stabilité a le Poisson composé ?: La somme de deux Poisson composés indépendants de même loi de sinistre est Poisson composée de paramètre λ1+λ2.
Quelles lois de N entrent dans la classe (a,b,0) ?: Poisson, binomiale et binomiale négative.
À quoi sert la récursion de Panjer ?: Calculer la loi de S sans convolutions successives, pour des sinistres à valeurs entières.
Pourquoi le modèle collectif est-il très utilisé en dommages ?: Parce qu'il sépare naturellement fréquence et sévérité, comme la tarification.
Pourquoi la variance sert-elle au chargement de sécurité ?: Elle mesure la dispersion de S : plus elle est grande, plus la marge nécessaire pour absorber l'aléa est élevée.

Glossaire

Charge totale: Montant agrégé S des sinistres d'un portefeuille sur une période.
Poisson composé: Modèle collectif où le nombre de sinistres suit une loi de Poisson.
Moment d'ordre 2: E[Y²], intervenant dans la variance de S en Poisson composé.
Classe (a,b,0): Lois discrètes vérifiant p_k = (a + b/k)p_{k-1}.
Convolution: Opération donnant la loi de la somme de variables indépendantes.
Portefeuille hétérogène: Ensemble de polices aux lois de sinistres différentes.